Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3165
2019-05-26 
Известно, что $tg \alpha + tg \beta = p, ctg \alpha + ctg \beta = q$. Найти $tg(\alpha + \beta)$.
Решение:
Если $tg(\alpha + \beta)$ определен, то
$tg( \alpha + \beta) = \frac{tg{ \alpha} + tg{ \beta}}{1 - tg{ \alpha} \cdot tg{ \beta}} = \frac{p}{1 - tg{ \alpha} \cdot tg{ \beta}}$. (1)
Произведение тангенсов связано с $p$ и $q$ следующим образом:
$q = \frac{1}{tg \alpha} + \frac{1}{tg \beta} = \frac{tg \alpha + tg \beta}{tg \alpha \cdot tg \beta} = \frac{p}{tg \alpha \cdot tg \beta}$. (2)
Из (2) получаем, что $p$ и $q$ либо одновременно равны нулю, либо одновременно не равны.
1. Если $p = 0$ и $q = 0$, то из (1) получаем $tg(\alpha + \beta) = 0$. При этом надо проверить, что знаменатель в (1) не равен нулю. Действительно:
$tg\alpha + tg\beta = 0 \Rightarrow tg\alpha = -tg\beta \Rightarrow 1 - tg\alpha \cdot tg\beta = 1 + tg^2\alpha > 0$.
2. Если $p \neq 0, q \neq 0$ и $p \neq q$, то из (2) получаем $tg\alpha \cdot tg\beta = \frac{p}{q}$ и из (1) $tg(\alpha + \beta) = \frac{pq}{q-p}$.
3. Если $p \neq 0, q \neq 0$ и $p = q$, то $tg(\alpha + \beta)$ не определен.
4. Если $p = 0$ или $q = 0$, но $p\neq q$, то условие задачи противоречиво.
Известно, что $tg \alpha + tg \beta = p, ctg \alpha + ctg \beta = q$. Найти $tg(\alpha + \beta)$.
Решение:
Если $tg(\alpha + \beta)$ определен, то
$tg( \alpha + \beta) = \frac{tg{ \alpha} + tg{ \beta}}{1 - tg{ \alpha} \cdot tg{ \beta}} = \frac{p}{1 - tg{ \alpha} \cdot tg{ \beta}}$. (1)
Произведение тангенсов связано с $p$ и $q$ следующим образом:
$q = \frac{1}{tg \alpha} + \frac{1}{tg \beta} = \frac{tg \alpha + tg \beta}{tg \alpha \cdot tg \beta} = \frac{p}{tg \alpha \cdot tg \beta}$. (2)
Из (2) получаем, что $p$ и $q$ либо одновременно равны нулю, либо одновременно не равны.
1. Если $p = 0$ и $q = 0$, то из (1) получаем $tg(\alpha + \beta) = 0$. При этом надо проверить, что знаменатель в (1) не равен нулю. Действительно:
$tg\alpha + tg\beta = 0 \Rightarrow tg\alpha = -tg\beta \Rightarrow 1 - tg\alpha \cdot tg\beta = 1 + tg^2\alpha > 0$.
2. Если $p \neq 0, q \neq 0$ и $p \neq q$, то из (2) получаем $tg\alpha \cdot tg\beta = \frac{p}{q}$ и из (1) $tg(\alpha + \beta) = \frac{pq}{q-p}$.
3. Если $p \neq 0, q \neq 0$ и $p = q$, то $tg(\alpha + \beta)$ не определен.
4. Если $p = 0$ или $q = 0$, но $p\neq q$, то условие задачи противоречиво.
