Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3164
2019-05-26 
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ внешним образом построен квадрат с центром $O$. Точки $M$ и $N$ - середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно, а длины этих сторон равны соответственно $a$ и $b$. Найти максимум суммы $OM + ON$, когда угол $ACB$ меняется.
Решение:
Пусть $D$ и $E$ - остальные вершины квадрата $ABDE$ и $\gamma = \angle ACB$ (рис.).
Тогда (по теореме о средней линии треугольника) из $ \Delta ACD$ получаем: $CD = 2OM$. Аналогично, $CE=2ON$. Поэтому достаточно найти максимум $CD+CE=2(OM+ON)$.
Первый способ. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ построим внешним образом квадрат $CBD_1E_1$ (рис. 33). Треугольники $ABD_1$ и $DBC$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит $CD=AD_1$.
В треугольнике $ACD_1$ две стороны известны: $AC=b, CD_1 =a \sqrt{2}$. Кроме того, $ \angle ACD_1 = \gamma + 45^{ \circ}$. Третья сторона $AD_1$ принимает максимальное значение, когда треугольник вырождается в отрезок. Поэтому
$max(CD) = max(AD_1) = b + a\sqrt{2}$
при $\gamma = 135^ {\circ}$. Аналогично, $max(CE) = a + b\sqrt{2}$ при $\gamma = 135^{ \circ}$.
Итак, каждая из величин $OM, ON$ достигает максимума при $\gamma = 135^{ \circ}$. Значит, и их сумма максимальна при $\gamma = 135^ { \circ}:
max(OM+ON) = \frac{1+ \sqrt{2}}{2}(a+b)$.
Второй способ. Обозначим $ \angle CAB = \alpha, \angle ABC = \beta, c = AB, d = CD, e = CE$.
По теореме косинусов для треугольника $ABC:
c^2 =a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma}$.
По теореме косинусов для треугольника $AEC$:
$e^2 =b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos{(90^{\circ}+a)} = b^2 + c^2 +2bc\sin{\alpha}$
(мы воспользовались формулой приведения).
Подставим $c^2$ из первой формулы во вторую:
$e^2 = 2b^2 + a^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} + 2bc \cdot \sin{\alpha}$.
Из теоремы синусов для треугольника $ABC$ следует, что $\sin{\alpha} = \frac{a}{c} \sin{\gamma}$.
Получаем:
$e^2 = 2b^2 +a^2 + 2ab \cdot(\sin{\gamma} - \cos{\gamma})$.
Аналогично получаем: $d^2 = 2a^2 + b^2 + 2ab \cdot(\sin{\gamma} - \cos{\gamma})$.
Отсюда следует, что максимум $d$ и $e$ достигается одновременно с максимумом выражения $\sin{\gamma} - \cos{\gamma}$ при $\gamma = 135^{ \circ}$. Значит, и $d + e$ максимально при $\gamma = 135^{ \circ}$.
Ответ: Максимум $OM+ON$ достигается при $ \angle ACB = 135^{ \circ}$ и равен $ \frac{1+ \sqrt{2}}{2}(a+b)$.
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ внешним образом построен квадрат с центром $O$. Точки $M$ и $N$ - середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно, а длины этих сторон равны соответственно $a$ и $b$. Найти максимум суммы $OM + ON$, когда угол $ACB$ меняется.
Решение:
Пусть $D$ и $E$ - остальные вершины квадрата $ABDE$ и $\gamma = \angle ACB$ (рис.).
Тогда (по теореме о средней линии треугольника) из $ \Delta ACD$ получаем: $CD = 2OM$. Аналогично, $CE=2ON$. Поэтому достаточно найти максимум $CD+CE=2(OM+ON)$.
Первый способ. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ построим внешним образом квадрат $CBD_1E_1$ (рис. 33). Треугольники $ABD_1$ и $DBC$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит $CD=AD_1$.
В треугольнике $ACD_1$ две стороны известны: $AC=b, CD_1 =a \sqrt{2}$. Кроме того, $ \angle ACD_1 = \gamma + 45^{ \circ}$. Третья сторона $AD_1$ принимает максимальное значение, когда треугольник вырождается в отрезок. Поэтому
$max(CD) = max(AD_1) = b + a\sqrt{2}$
при $\gamma = 135^ {\circ}$. Аналогично, $max(CE) = a + b\sqrt{2}$ при $\gamma = 135^{ \circ}$.
Итак, каждая из величин $OM, ON$ достигает максимума при $\gamma = 135^{ \circ}$. Значит, и их сумма максимальна при $\gamma = 135^ { \circ}:
max(OM+ON) = \frac{1+ \sqrt{2}}{2}(a+b)$.
Второй способ. Обозначим $ \angle CAB = \alpha, \angle ABC = \beta, c = AB, d = CD, e = CE$.
По теореме косинусов для треугольника $ABC:
c^2 =a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma}$.
По теореме косинусов для треугольника $AEC$:
$e^2 =b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos{(90^{\circ}+a)} = b^2 + c^2 +2bc\sin{\alpha}$
(мы воспользовались формулой приведения).
Подставим $c^2$ из первой формулы во вторую:
$e^2 = 2b^2 + a^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} + 2bc \cdot \sin{\alpha}$.
Из теоремы синусов для треугольника $ABC$ следует, что $\sin{\alpha} = \frac{a}{c} \sin{\gamma}$.
Получаем:
$e^2 = 2b^2 +a^2 + 2ab \cdot(\sin{\gamma} - \cos{\gamma})$.
Аналогично получаем: $d^2 = 2a^2 + b^2 + 2ab \cdot(\sin{\gamma} - \cos{\gamma})$.
Отсюда следует, что максимум $d$ и $e$ достигается одновременно с максимумом выражения $\sin{\gamma} - \cos{\gamma}$ при $\gamma = 135^{ \circ}$. Значит, и $d + e$ максимально при $\gamma = 135^{ \circ}$.
Ответ: Максимум $OM+ON$ достигается при $ \angle ACB = 135^{ \circ}$ и равен $ \frac{1+ \sqrt{2}}{2}(a+b)$.
