Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3161
2019-05-26 
От любой точки на любом из двух берегов реки можно доплыть до другого берега, проплыв не более одного километра. Всегда ли лоцман может провести корабль вдоль реки так, чтобы находиться все время на расстоянии не более чем а) 700 метров, б) 800 метров от каждого из берегов?
Примечание. Известно, что река соединяет два круглых озера радиусом 10 километров каждое, а береговые линии состоят из отрезков и дуг окружностей. Корабль следует считать точкой.
Комментарии.
1. Считайте, что островов на реке нет.
2. Расстояние от точки на реке до берега можно понимать двояко: как минимальное расстояние до берега по прямой (при этом прямая может пересекать другой берег), или как длину кратчайшего пути по воде. Эти расстояния могут быть различными, если мыс одного берега загораживает другой берег (рис.). В задаче используется расстояние во втором смысле.
Решение:
a) Пример приведен на рис. Здесь $AC = 1000$ м, $AB > 1400$ м, $CD = 1$ м. Маршрут корабля должен пересекать отрезок $AB$, но расстояние от любой точки $AB$ до одного из берегов больше 700 м.
б) Эта задача оказалась неожиданно сложной. Сформулируем сначала две леммы:
Лемма 1. В условиях задачи, не существует круга радиуса 750 м с центром в реке и лежащего целиком на воде.
Лемма 2. Пусть расстояние от точки $O$ на реке до одного из берегов (по воде) не меньше 750 м, тогда расстояние до другого берега не превосходит 750 м.
Мы докажем лемму 1 и выведем из нее лемму 2. Доказательства непросты, но основная сложность состоит не в них, а в том, чтобы построить искомый путь корабля. Для этого приходится рассматривать множество точек на воде, расстояние от которых до левого берега не превосходит 750 м, и плыть по границе этого множества (тогда из леммы 2 следует, что расстояние до каждого берега не превосходит 750 м). Проблема состоит в том, что граница множества может быть устроена очень плохо. Приведенное решение следует рассматривать как пример небольшого научного исследования. Мы вынесли его в дополнение Б.
Ответ: а) Не всегда; б) всегда.
От любой точки на любом из двух берегов реки можно доплыть до другого берега, проплыв не более одного километра. Всегда ли лоцман может провести корабль вдоль реки так, чтобы находиться все время на расстоянии не более чем а) 700 метров, б) 800 метров от каждого из берегов?
Примечание. Известно, что река соединяет два круглых озера радиусом 10 километров каждое, а береговые линии состоят из отрезков и дуг окружностей. Корабль следует считать точкой.
Комментарии.
1. Считайте, что островов на реке нет.
2. Расстояние от точки на реке до берега можно понимать двояко: как минимальное расстояние до берега по прямой (при этом прямая может пересекать другой берег), или как длину кратчайшего пути по воде. Эти расстояния могут быть различными, если мыс одного берега загораживает другой берег (рис.). В задаче используется расстояние во втором смысле.
Решение:
a) Пример приведен на рис. Здесь $AC = 1000$ м, $AB > 1400$ м, $CD = 1$ м. Маршрут корабля должен пересекать отрезок $AB$, но расстояние от любой точки $AB$ до одного из берегов больше 700 м.
б) Эта задача оказалась неожиданно сложной. Сформулируем сначала две леммы:
Лемма 1. В условиях задачи, не существует круга радиуса 750 м с центром в реке и лежащего целиком на воде.
Лемма 2. Пусть расстояние от точки $O$ на реке до одного из берегов (по воде) не меньше 750 м, тогда расстояние до другого берега не превосходит 750 м.
Мы докажем лемму 1 и выведем из нее лемму 2. Доказательства непросты, но основная сложность состоит не в них, а в том, чтобы построить искомый путь корабля. Для этого приходится рассматривать множество точек на воде, расстояние от которых до левого берега не превосходит 750 м, и плыть по границе этого множества (тогда из леммы 2 следует, что расстояние до каждого берега не превосходит 750 м). Проблема состоит в том, что граница множества может быть устроена очень плохо. Приведенное решение следует рассматривать как пример небольшого научного исследования. Мы вынесли его в дополнение Б.
Ответ: а) Не всегда; б) всегда.
