Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3159
2019-05-26 
При разложении чисел $A$ и $B$ в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа $A + B$?
Решение:
Как известно, длина минимального периода дроби является делителем длины любого другого ее периода, (длину минимального периода конечной десятичной дроби мы будем считать равной единице).
Докажем следующее утверждение: если $k$ - длина одного из периодов (не обязательно минимального) каждой из дробей $A$ и $B$, то $k$ будет длиной некоторого периода дробей $A+B$ и $A-B$.
Докажем утверждение для $A+B$ (доказательство для $A-B$ аналогично). Периодическую дробь $A$ с длиной периода $k$ можно представить в виде
$A = \frac{X}{10^l(10^k - 1)}$,
где $X$ - целое число. Аналогично можно записать $B = \frac{Y}{10^m(10^k-1)}$. Без ограничения общности можно считать, что $l \geq m$. Тогда
$A + B = \frac{X + 10^{l-m}Y}{10^l(10^k - 1)}$.
Это число такого же вида, так что соответствующая дробь имеет период длины $k$. Утверждение доказано.
Пусть дробь $A$ имеет период длины 6, а дробь $B$ - период длины 12. Из доказанного утверждения следует, что 12 - длина некоторого периода дроби $A+B$. Значит, длина минимального периода дроби $A+B$ является делителем числа 12.
С другой стороны, длина периода дроби $A+B$ не может равняться 6 - иначе дробь $B = (A+B) - A$ имела бы период длины 6. Значит, длина минимального периода дроби $A+B$ не может равняться 6, 3, 2 и 1.
Остаются два варианта: 12 и 4. Покажем, что оба эти варианта возможны:
$A = 0,(000001), B =0,(000000000001), A + B = 0,(000001000002); A = 0,(000001), B = 0,(011100110110), A + B = 0,(0111)$.
Комментарии.
1. Покажем как придумать пример дробей с длинами минимальных периодов 6 и 12, сумма которых имеет минимальный период длины 4. Надо из любой дроби с минимальным периодом длины 4 вычесть дробь с минимальным периодом длины 6, получим дробь с минимальны периодом длины 12.
2. Опишем все возможные длины минимальных периодов дроби $A+B$ в общем случае. Пусть $m, n$ и $k$ - длины минимальных периодов дробей $A, B$ и $A+B$. Тогда $k$ является делителем наименьшего общего кратного чисел $m$ и $n$. Аналогично, $m$ - делитель $НОК(n, k)$, и $n$ - делитель $НОК(m, k)$. Пусть $p_1, \cdots, p_s$ - все простые делители $НОК(m, n)$, причем
$m = p_1^{ \alpha_1} \cdots p_s^{ \alpha_s}, n = p_1^{ \beta_1} \cdots p_s^{ \beta_s}$, где $\alpha_i, \beta_j$
могут равняться нулю. Тогда из предыдущего следует, что $k = p_1^{ \gamma_1} \cdots p_s^{ \gamma_s}$, где $\gamma_i = max(\alpha_i, \beta_i)$, при $\alpha_i \neq \beta_i, и \gamma_i$ - любое число от 0 до $\alpha_i$, при $\alpha_i = \beta_i$. Можно показать и обратное: любое такое $k$ является длиной минимального периода некоторой дроби $A+B$, где длина минимального периода дроби $A$ равна $m$, а длина минимального периода дроби $B$ равна $n$.
Ответ: 12 или 4.
При разложении чисел $A$ и $B$ в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа $A + B$?
Решение:
Как известно, длина минимального периода дроби является делителем длины любого другого ее периода, (длину минимального периода конечной десятичной дроби мы будем считать равной единице).
Докажем следующее утверждение: если $k$ - длина одного из периодов (не обязательно минимального) каждой из дробей $A$ и $B$, то $k$ будет длиной некоторого периода дробей $A+B$ и $A-B$.
Докажем утверждение для $A+B$ (доказательство для $A-B$ аналогично). Периодическую дробь $A$ с длиной периода $k$ можно представить в виде
$A = \frac{X}{10^l(10^k - 1)}$,
где $X$ - целое число. Аналогично можно записать $B = \frac{Y}{10^m(10^k-1)}$. Без ограничения общности можно считать, что $l \geq m$. Тогда
$A + B = \frac{X + 10^{l-m}Y}{10^l(10^k - 1)}$.
Это число такого же вида, так что соответствующая дробь имеет период длины $k$. Утверждение доказано.
Пусть дробь $A$ имеет период длины 6, а дробь $B$ - период длины 12. Из доказанного утверждения следует, что 12 - длина некоторого периода дроби $A+B$. Значит, длина минимального периода дроби $A+B$ является делителем числа 12.
С другой стороны, длина периода дроби $A+B$ не может равняться 6 - иначе дробь $B = (A+B) - A$ имела бы период длины 6. Значит, длина минимального периода дроби $A+B$ не может равняться 6, 3, 2 и 1.
Остаются два варианта: 12 и 4. Покажем, что оба эти варианта возможны:
$A = 0,(000001), B =0,(000000000001), A + B = 0,(000001000002); A = 0,(000001), B = 0,(011100110110), A + B = 0,(0111)$.
Комментарии.
1. Покажем как придумать пример дробей с длинами минимальных периодов 6 и 12, сумма которых имеет минимальный период длины 4. Надо из любой дроби с минимальным периодом длины 4 вычесть дробь с минимальным периодом длины 6, получим дробь с минимальны периодом длины 12.
2. Опишем все возможные длины минимальных периодов дроби $A+B$ в общем случае. Пусть $m, n$ и $k$ - длины минимальных периодов дробей $A, B$ и $A+B$. Тогда $k$ является делителем наименьшего общего кратного чисел $m$ и $n$. Аналогично, $m$ - делитель $НОК(n, k)$, и $n$ - делитель $НОК(m, k)$. Пусть $p_1, \cdots, p_s$ - все простые делители $НОК(m, n)$, причем
$m = p_1^{ \alpha_1} \cdots p_s^{ \alpha_s}, n = p_1^{ \beta_1} \cdots p_s^{ \beta_s}$, где $\alpha_i, \beta_j$
могут равняться нулю. Тогда из предыдущего следует, что $k = p_1^{ \gamma_1} \cdots p_s^{ \gamma_s}$, где $\gamma_i = max(\alpha_i, \beta_i)$, при $\alpha_i \neq \beta_i, и \gamma_i$ - любое число от 0 до $\alpha_i$, при $\alpha_i = \beta_i$. Можно показать и обратное: любое такое $k$ является длиной минимального периода некоторой дроби $A+B$, где длина минимального периода дроби $A$ равна $m$, а длина минимального периода дроби $B$ равна $n$.
Ответ: 12 или 4.
