Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3158
2019-05-26 
Дан выпуклый четырехугольник $ABMC$, в котором $AB = BC, \angle BAM = 30^{ \circ}, \angle ACM = 150^{ \circ}$. Докажите, что $AM$ - биссектриса угла $BMC$.
Решение:
Первый способ. Пусть $B^{ \prime}$ - точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $AM$ (рис.). Тогда $AB = AB^{ \prime}, \angle BAB^{ \prime} = 60^{ \circ}$, и треугольник $ABB^{ \prime}$ - равносторонний. Значит, точки $A, C$ и $B^{ \prime}$ лежат на окружности с центром $B$. Угол $\angle ACB^{ \prime}$ - вписанный и равен половине угла $\angle ABB^{ \prime}$, т. е. $\angle ACB^{ \prime} = 30^{ \circ}$. Поскольку $\angle ACM = 150^{ \circ}$, то точка $B^{ \prime}$ лежит на прямой $MC$. По построению $AM$ - биссектриса угла $\angle BMB^{ \prime}$, а значит, и угла $\angle BMC$.
Второй способ. Проведем окружность с центром $O$ через точки $A, C$ и $M$ (рис.). Так как $\angle ACM = 150^{\circ}$, дуга $AM$ равна $60^{\circ}$, поэтому треугольник $MAO$ - равносторонний. Точка $B$ лежит на его оси симметрии, так как $\angle BAM = 30^{\circ}$. Значит,
$\angle AMB = \angle AOB = \frac{1}{2} \angle AOC = \angle AMC$.
Второе равенство следует из того, что треугольники $ABO$ и $CBO$ равны.
Дан выпуклый четырехугольник $ABMC$, в котором $AB = BC, \angle BAM = 30^{ \circ}, \angle ACM = 150^{ \circ}$. Докажите, что $AM$ - биссектриса угла $BMC$.
Решение:
Первый способ. Пусть $B^{ \prime}$ - точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $AM$ (рис.). Тогда $AB = AB^{ \prime}, \angle BAB^{ \prime} = 60^{ \circ}$, и треугольник $ABB^{ \prime}$ - равносторонний. Значит, точки $A, C$ и $B^{ \prime}$ лежат на окружности с центром $B$. Угол $\angle ACB^{ \prime}$ - вписанный и равен половине угла $\angle ABB^{ \prime}$, т. е. $\angle ACB^{ \prime} = 30^{ \circ}$. Поскольку $\angle ACM = 150^{ \circ}$, то точка $B^{ \prime}$ лежит на прямой $MC$. По построению $AM$ - биссектриса угла $\angle BMB^{ \prime}$, а значит, и угла $\angle BMC$.
Второй способ. Проведем окружность с центром $O$ через точки $A, C$ и $M$ (рис.). Так как $\angle ACM = 150^{\circ}$, дуга $AM$ равна $60^{\circ}$, поэтому треугольник $MAO$ - равносторонний. Точка $B$ лежит на его оси симметрии, так как $\angle BAM = 30^{\circ}$. Значит,
$\angle AMB = \angle AOB = \frac{1}{2} \angle AOC = \angle AMC$.
Второе равенство следует из того, что треугольники $ABO$ и $CBO$ равны.
