Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3155
2019-05-26 
Бумажный треугольник с углами $20^{ \circ}, 20^{ \circ}, 140^{ \circ}$ разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получится треугольник, подобный исходному?
Решение:
От противного. Предположим, что на каком-то шаге мы получили треугольник, подобный исходному. Заметим, что все его углы кратны $20^{ \circ}$.
Лемма. У всех предыдущих треугольников углы кратны $20^{ \circ}$.
Доказательство. Пусть треугольник с углами $ \alpha, \beta$ и $\gamma$ получился из треугольника с углами $\alpha_1, \beta_1$ и $\gamma_1$ разрезанием по биссектрисе угла $\alpha_1$. Тогда мы можем считать, что $\alpha_1 = 2\alpha$. Один из углов разрезанного треугольника совпадает с углом полученного треугольника (рис.), так что можно считать, что $\beta =\beta_1$. Так как сумма углов треугольника равна $180^{ \circ}$, получаем
$\gamma_1 = 180^{ \circ} - \alpha_1 - \beta_1 = (\alpha + \beta + \gamma) - 2 \alpha -\beta = \gamma - \alpha$.
Понятно, что если $\alpha, \beta$ и $\gamma$ кратны $20^{ \circ}$, то $\alpha_1, \beta_1$ и $\gamma_1$ - тоже кратны $20^{ \circ}$. Но тогда и на предыдущем шаге был треугольник с углами, кратными $20^{ \circ}$. Значит, и за 2 шага до этого был треугольник с углами, кратными $20^{ \circ}$ и т. д. Лемма доказана.
Теперь нетрудно получить противоречие: уже после первого разрезания получится треугольник с углом, некратным $20^{ \circ}$. Значит, треугольник, подобный исходному, получить нельзя.
Ответ: Нет, не может.
Бумажный треугольник с углами $20^{ \circ}, 20^{ \circ}, 140^{ \circ}$ разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получится треугольник, подобный исходному?
Решение:
От противного. Предположим, что на каком-то шаге мы получили треугольник, подобный исходному. Заметим, что все его углы кратны $20^{ \circ}$.
Лемма. У всех предыдущих треугольников углы кратны $20^{ \circ}$.
Доказательство. Пусть треугольник с углами $ \alpha, \beta$ и $\gamma$ получился из треугольника с углами $\alpha_1, \beta_1$ и $\gamma_1$ разрезанием по биссектрисе угла $\alpha_1$. Тогда мы можем считать, что $\alpha_1 = 2\alpha$. Один из углов разрезанного треугольника совпадает с углом полученного треугольника (рис.), так что можно считать, что $\beta =\beta_1$. Так как сумма углов треугольника равна $180^{ \circ}$, получаем
$\gamma_1 = 180^{ \circ} - \alpha_1 - \beta_1 = (\alpha + \beta + \gamma) - 2 \alpha -\beta = \gamma - \alpha$.
Понятно, что если $\alpha, \beta$ и $\gamma$ кратны $20^{ \circ}$, то $\alpha_1, \beta_1$ и $\gamma_1$ - тоже кратны $20^{ \circ}$. Но тогда и на предыдущем шаге был треугольник с углами, кратными $20^{ \circ}$. Значит, и за 2 шага до этого был треугольник с углами, кратными $20^{ \circ}$ и т. д. Лемма доказана.
Теперь нетрудно получить противоречие: уже после первого разрезания получится треугольник с углом, некратным $20^{ \circ}$. Значит, треугольник, подобный исходному, получить нельзя.
Ответ: Нет, не может.
