Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3154
2019-05-26 
Найдите $x_{1000}$, если $x_1 = 4, x_2 = 6$, и при любом натуральном $n \geq 3 x_n$ - наименьшее составное число, большее $2x_{n-1} - x_{n-2}$.
Решение:
Выпишем несколько первых членов последовательности: $x_3$ - наименьшее составное число, большее, чем $2x_2-x_1 = 8$, т. е. $x_3 = 9; x_4$ - наименьшее составное число, большее, чем $2x_3 - x_2 = 12$, т. е. $x_4 = 14$ (потому что 13 - не составное число). Продолжая в том же духе, получим $x_5 = 20, x_6 = 27, \cdots$. Посмотрим, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего:
$x_3 = 9, x_4 = 14 = x_3 + 5, x_5 = 20 = x_4 + 6, x_6 = 27 = x_5 + 7, \cdots$.
Возникает гипотеза, что при $n \geq 4$
$x_n = x_n-1 + n +1$.
Если эта гипотеза верна, то
$x_5 = x_4 + 6 = x_3 + 5 + 6$,
$x_6 = x_3 + 5 + 6 + 7$,
$x_7 =x_3 + 5 + 6 + 7 + 8$,
$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$
$x_n = x_3 + 5 + \cdots + n + (n+1)= 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + n + (n + 1) = \frac{n(n + 3)}{2}$.
Последнее равенство - это формула для суммы арифметической прогрессии. Докажем формулу
$x_n = \frac{n(n+3)}{2}$ (1)
методом полной индукции.
База индукции. При $n = 4$ формула верна.
Шаг индукции. Пусть она верна для $x_4, \cdots, x_n$.
Докажем, что тогда $x_n+1 = \frac{(n + 1)(n + 4)}{2}$. Действительно:
$2x_n - x_n+1 = 2 \cdot \frac{n(n + 3)}{2} - \frac{(n - 1)(n + 2)}{2} = \frac{(n + 1)(n + 4)}{2} - 1$.
По условию, $x_{n+1}$ - первое составное число, большее, чем $\frac{(n + 1)(n + 4)}{2} - 1$. Но число $\frac{(n + 1)(n + 4)}{2}$ составное. Действительно, если $n$ нечетно, то
$\frac{(n + 1)(n + 4)}{2} = (n + 4) \cdots \left ( \frac{(n + 1)}{2} \right )$.
Каждый из сомножителей в скобках - целое число, большее 2. Аналогично рассматривается случай четного $n$.
Итак,
$x_{n+1} = \frac{(n + 1)(n + 4)}{2}$,
и формула (1) доказана по индукции. Подставляя в (1) $n = 1000$, получаем $x_{1000} = \frac{1000 \cdot 1003}{2}$.
Ответ: $x_{1000} = \frac{1000 \cdot 1003}{2} = 501500$.
Найдите $x_{1000}$, если $x_1 = 4, x_2 = 6$, и при любом натуральном $n \geq 3 x_n$ - наименьшее составное число, большее $2x_{n-1} - x_{n-2}$.
Решение:
Выпишем несколько первых членов последовательности: $x_3$ - наименьшее составное число, большее, чем $2x_2-x_1 = 8$, т. е. $x_3 = 9; x_4$ - наименьшее составное число, большее, чем $2x_3 - x_2 = 12$, т. е. $x_4 = 14$ (потому что 13 - не составное число). Продолжая в том же духе, получим $x_5 = 20, x_6 = 27, \cdots$. Посмотрим, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего:
$x_3 = 9, x_4 = 14 = x_3 + 5, x_5 = 20 = x_4 + 6, x_6 = 27 = x_5 + 7, \cdots$.
Возникает гипотеза, что при $n \geq 4$
$x_n = x_n-1 + n +1$.
Если эта гипотеза верна, то
$x_5 = x_4 + 6 = x_3 + 5 + 6$,
$x_6 = x_3 + 5 + 6 + 7$,
$x_7 =x_3 + 5 + 6 + 7 + 8$,
$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$
$x_n = x_3 + 5 + \cdots + n + (n+1)= 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + n + (n + 1) = \frac{n(n + 3)}{2}$.
Последнее равенство - это формула для суммы арифметической прогрессии. Докажем формулу
$x_n = \frac{n(n+3)}{2}$ (1)
методом полной индукции.
База индукции. При $n = 4$ формула верна.
Шаг индукции. Пусть она верна для $x_4, \cdots, x_n$.
Докажем, что тогда $x_n+1 = \frac{(n + 1)(n + 4)}{2}$. Действительно:
$2x_n - x_n+1 = 2 \cdot \frac{n(n + 3)}{2} - \frac{(n - 1)(n + 2)}{2} = \frac{(n + 1)(n + 4)}{2} - 1$.
По условию, $x_{n+1}$ - первое составное число, большее, чем $\frac{(n + 1)(n + 4)}{2} - 1$. Но число $\frac{(n + 1)(n + 4)}{2}$ составное. Действительно, если $n$ нечетно, то
$\frac{(n + 1)(n + 4)}{2} = (n + 4) \cdots \left ( \frac{(n + 1)}{2} \right )$.
Каждый из сомножителей в скобках - целое число, большее 2. Аналогично рассматривается случай четного $n$.
Итак,
$x_{n+1} = \frac{(n + 1)(n + 4)}{2}$,
и формула (1) доказана по индукции. Подставляя в (1) $n = 1000$, получаем $x_{1000} = \frac{1000 \cdot 1003}{2}$.
Ответ: $x_{1000} = \frac{1000 \cdot 1003}{2} = 501500$.
