Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3153
2019-05-26 
Для двух данных различных точек плоскости $A$ и $B$ найдите геометрическое место таких точек $C$, что треугольник $ABC$ остроугольный, а его угол $A$ - средний по величине.
Комментарий. Под средним по величине углом мы понимаем угол, который не больше одного из углов, и не меньше другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
Решение:
Проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную отрезку $AB$. Ясно, что $\angle BAC < 90^{\circ}$ тогда и только тогда, когда точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от этой прямой. Теперь понятно, что множество таких точек, что $\angle A < 90^{\circ}$ и $\angle B < 90^{\circ}$, есть полоса, границы которой проходят через точки $A$ и $B$ и перпендикулярны отрезку $AB$ (рис. а).
Построим окружность на отрезке $AB$ как на диаметре. Если точка $C$ лежит на этой окружности, то $\angle ACB = 90^{\circ}$, если внутри, то этот угол тупой, если снаружи - острый. Значит, геометрическое место таких точек $C$, что треугольник $ABC$ остроугольный, совпадает с множеством, заштрихованным на рис. б.
Условие, что угол $A$ средний по величине, можно записать как $\angle B \leq \angle A \leq \angle C$ или $ \angle C \leq \angle A \leq \angle B$.
Так как против большего угла лежит большая сторона, условие $\angle B \leq \angle A \leq \angle C$ эквивалентно условию
$AC \leq BC \leq AB$. (1)
Рассмотрим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Точки этого перпендикуляра равноудалены от точек $A$ и $B$. Точки, лежащие по ту же сторону от перпендикуляра, что и точка $A$, ближе к точке $A$, чем к точке $B$. Значит, геометрическое место таких точек $C$, что $AC \leq BC$, есть полуплоскость, отсекаемая серединным перпендикуляром, и содержащая точку $A$.
Рассмотрим круг, с центром в точке $B$ и радиусом $AB$. Условие $BC \leq AB$ равносильно тому, что точка $C$ лежит внутри этого круга. Итак, геометрическое место точек, удовлетворяющих условию (1), есть множество, изображенное на рис. а.
Аналогично, условие $\angle C \leq \angle A \leq \angle B$ эквивалентно условию $AB \leq BC \leq AC$, и соответствующее геометрическое место точек изображено на рис. б. Объединяя множества, изображенные на рис. а и б, получим геометрическое место таких точек $C$, что в треугольнике $ABC$ угол $A$ - средний по величине (рис. в). Осталось нарисовать пересечение ГМТ на рис., в с ГМТ на рис. б.
Ответ: См. рис. Условию задачи удовлетворяют точки, находящиеся в заштрихованных областях, и точки на сплошных линиях, но не точки на пунктирных линиях.
Для двух данных различных точек плоскости $A$ и $B$ найдите геометрическое место таких точек $C$, что треугольник $ABC$ остроугольный, а его угол $A$ - средний по величине.
Комментарий. Под средним по величине углом мы понимаем угол, который не больше одного из углов, и не меньше другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
Решение:
Проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную отрезку $AB$. Ясно, что $\angle BAC < 90^{\circ}$ тогда и только тогда, когда точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от этой прямой. Теперь понятно, что множество таких точек, что $\angle A < 90^{\circ}$ и $\angle B < 90^{\circ}$, есть полоса, границы которой проходят через точки $A$ и $B$ и перпендикулярны отрезку $AB$ (рис. а).
Построим окружность на отрезке $AB$ как на диаметре. Если точка $C$ лежит на этой окружности, то $\angle ACB = 90^{\circ}$, если внутри, то этот угол тупой, если снаружи - острый. Значит, геометрическое место таких точек $C$, что треугольник $ABC$ остроугольный, совпадает с множеством, заштрихованным на рис. б.
Условие, что угол $A$ средний по величине, можно записать как $\angle B \leq \angle A \leq \angle C$ или $ \angle C \leq \angle A \leq \angle B$.
Так как против большего угла лежит большая сторона, условие $\angle B \leq \angle A \leq \angle C$ эквивалентно условию
$AC \leq BC \leq AB$. (1)
Рассмотрим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Точки этого перпендикуляра равноудалены от точек $A$ и $B$. Точки, лежащие по ту же сторону от перпендикуляра, что и точка $A$, ближе к точке $A$, чем к точке $B$. Значит, геометрическое место таких точек $C$, что $AC \leq BC$, есть полуплоскость, отсекаемая серединным перпендикуляром, и содержащая точку $A$.
Рассмотрим круг, с центром в точке $B$ и радиусом $AB$. Условие $BC \leq AB$ равносильно тому, что точка $C$ лежит внутри этого круга. Итак, геометрическое место точек, удовлетворяющих условию (1), есть множество, изображенное на рис. а.
Аналогично, условие $\angle C \leq \angle A \leq \angle B$ эквивалентно условию $AB \leq BC \leq AC$, и соответствующее геометрическое место точек изображено на рис. б. Объединяя множества, изображенные на рис. а и б, получим геометрическое место таких точек $C$, что в треугольнике $ABC$ угол $A$ - средний по величине (рис. в). Осталось нарисовать пересечение ГМТ на рис., в с ГМТ на рис. б.
Ответ: См. рис. Условию задачи удовлетворяют точки, находящиеся в заштрихованных областях, и точки на сплошных линиях, но не точки на пунктирных линиях.
