Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3152
2019-05-26 
Окружность с центром $D$ проходит через точки $A, B$ и центр $O$ вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся его стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Доказать, что точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ - углы при вершинах $\Delta ABC$ (рис.), тогда
$\angle BAO = \frac{\alpha }{2}, \angle CBO = 90^{ \circ} - \frac{\beta}{2}$
(поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$ и на биссектрисе внешнего угла при вершине $B$),
$\angle ABO = \beta + \angle CBO = 90^{\circ} + \frac{\beta }{2}$.
Из $\Delta AOB: \angle AOB = 180^{\circ} - \frac{ \alpha }{2} - \left ( 90^{ \circ} +\frac{ \beta }{2} \right ) = 90^{\circ} - \frac{\alpha }{2} - \frac{\beta }{2} = \frac{\gamma}{2}$ (поскольку $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ})$. С другой стороны: $\angle AOB = \frac{ \angle ADB }{2}$ как вписанный в окружность с центром $D$. Значит, $\angle ADB = \gamma$.
Итак, $\angle ADB = \angle ACB$, так что $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности по обратной теореме о вписанных углах.
Комментарии.
1. Точки $O, C, D$ лежат на одной прямой, поскольку $\angle AOC = \frac{ \beta}{2}$ и $\angle AOD = \frac{ \beta}{2}$ (докажите).
2. Утверждение верно и для вписанной окружности (докажите).
Окружность с центром $D$ проходит через точки $A, B$ и центр $O$ вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся его стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Доказать, что точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ - углы при вершинах $\Delta ABC$ (рис.), тогда
$\angle BAO = \frac{\alpha }{2}, \angle CBO = 90^{ \circ} - \frac{\beta}{2}$
(поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$ и на биссектрисе внешнего угла при вершине $B$),
$\angle ABO = \beta + \angle CBO = 90^{\circ} + \frac{\beta }{2}$.
Из $\Delta AOB: \angle AOB = 180^{\circ} - \frac{ \alpha }{2} - \left ( 90^{ \circ} +\frac{ \beta }{2} \right ) = 90^{\circ} - \frac{\alpha }{2} - \frac{\beta }{2} = \frac{\gamma}{2}$ (поскольку $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ})$. С другой стороны: $\angle AOB = \frac{ \angle ADB }{2}$ как вписанный в окружность с центром $D$. Значит, $\angle ADB = \gamma$.
Итак, $\angle ADB = \angle ACB$, так что $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности по обратной теореме о вписанных углах.
Комментарии.
1. Точки $O, C, D$ лежат на одной прямой, поскольку $\angle AOC = \frac{ \beta}{2}$ и $\angle AOD = \frac{ \beta}{2}$ (докажите).
2. Утверждение верно и для вписанной окружности (докажите).
