2014-06-07
Доказать, что дли высот $h_{i}(i =1, 2, 3, 4)$ любого тетраэдра и радиусов $r_{i}$ вневписаных сфер справедливо равенство
$2 \left (\frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{2}} + \frac{1}{h_{3}} + \frac{1}{h_{4}} \right ) = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} + \frac{1}{r_{4}}$.
Решение:
Обозначим через $V$ и $S$ объем и площадь поверхности тетраэдра, я через $S_{i}$ площадь той его грани, которая соответствует высоте $h_{i}$ тетраэдра и касается вневписанной сферы радиуса $r_{i}$. Тогда имеем равенства
$3V = h_{1}S_{1} = r_{1} (S_{2} + S_{3} + S_{4} – S_{1}) = r_{1} (S - 2S_{1})$
и аналогично
$3V = h_{i}S_{i} = r_{i} (S – 2S_{i})$
при остальных значениях i. Поэтому получаем
$\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} + \frac{1}{r_{4}} = \frac{1}{3V} (S – 2S_{1} + S – 2S_{2} + S – 2S_{3} + S – 2S_{4}) = \frac{2S}{3V} =$
$= \frac{2}{3V} (S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}) = 2 \left ( \frac{1}{h_{1}} + \frac{1}{h_{2}} + \frac{1}{h_{3}} + \frac{1}{h_{4}} \right )$,
т. е. равенство справедливо.