Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3148
2019-05-26 
Известно, что число $n$ является суммой квадратов трех натуральных чисел. Показать, что число $n^2$ тоже является суммой квадратов трех натуральных чисел.
Решение:
Пусть
$n = a^2 + b^2 + c^2$.
Тогда
$n^2 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2$.
Преобразуем это выражение:
$a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 = (a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2a^2c^2) + 4b^2c^2 + 4a^2c^2 = (a^2 + b^2 - c^2)^2 + (2bc)^2 + (2ac)^2$.
Можно считать, что $a \geq b \geq c$, тогда $a^2 + b^2 - c^2 > 0$. Следовательно, мы представили число $n^2$ в виде суммы квадратов трех натуральных чисел.
Комментарии.
1. Попробуйте доказать аналогичное утверждение для суммы четырех и более квадратов.
2. Для суммы двух квадратов утверждение не всегда верно: $(1^2 + 1^2)^2 = 4$ не представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, хотя есть аналогичное тождество: $(a^2 + b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2$.
3. Любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Это знаменитая теорема Лагранжа. (Заметим, что квадраты целых чисел - это квадраты натуральных чисел и еще число $0 = 0^2$.)
4. Есть числа, которые не представимы суммой квадратов трех целых чисел, например, число 7. Оказывается, число не представимо суммой трех квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид $(8k + 7) \cdot 4^m$.
5. По поводу сумм двух квадратов см. комментарий к задаче 4 для 11 класса олимпиады 1996 г.
6. Фактически, представимость результата в заданном виде мы доказываем не для чисел, а для многочленов от нескольких переменных, выписывая тождество. Можно задать такой вопрос: при каких $k$ произведение
$(a^2_1 + a^2_2 + \cdots + a^2_k)(b^2_1 + b^2_2 + \cdots + b^2_k)$
можно представить в виде
$P^2_1 + \cdots + P^2_k$,
где $P_1, \cdots, P_k$ - многочлены от переменных $a_1, \cdots, a_k, b_1, \cdots, b_k$? Приведем соответствующие формулы при $k = 1, 2, 4$.
$n = 1: a^2 \cdot b^2 =(ab)^2$;
$n = 2$ (тождество Диофанта):
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2$
$n = 4$ (тождество Эйлера):
$(a^1_2 + b^1_2 + c^1_2 +d^1_2)(a^2_2 + b^2_2 + c^2_2 + d^2_2) = (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2)^2 + (a_1b_2 +c_1d_2 + a_2b_1 - c_2d_1)^2 + (a_1c_2 + a_2c_1 + b_2d_1 - b_1d_2)^2 + (a_1d_2 + a_2d_1 + b_1c_2 - b_2c_1)^2$.
Существует аналогичное тождество для $n = 8$. Для $n$, отличного от 1, 2, 4 и 8, таких тождеств не существует (хотя доказать это очень не просто)! Чтобы окончательно заинтриговать читателя, скажем, что первое тождество связано с действительными числами, второе - с комплексными, третье - с кватернионами, а невыписанное тождество ($n = 8$) с октавами Кэли.
Известно, что число $n$ является суммой квадратов трех натуральных чисел. Показать, что число $n^2$ тоже является суммой квадратов трех натуральных чисел.
Решение:
Пусть
$n = a^2 + b^2 + c^2$.
Тогда
$n^2 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2$.
Преобразуем это выражение:
$a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 = (a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2a^2c^2) + 4b^2c^2 + 4a^2c^2 = (a^2 + b^2 - c^2)^2 + (2bc)^2 + (2ac)^2$.
Можно считать, что $a \geq b \geq c$, тогда $a^2 + b^2 - c^2 > 0$. Следовательно, мы представили число $n^2$ в виде суммы квадратов трех натуральных чисел.
Комментарии.
1. Попробуйте доказать аналогичное утверждение для суммы четырех и более квадратов.
2. Для суммы двух квадратов утверждение не всегда верно: $(1^2 + 1^2)^2 = 4$ не представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, хотя есть аналогичное тождество: $(a^2 + b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2$.
3. Любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Это знаменитая теорема Лагранжа. (Заметим, что квадраты целых чисел - это квадраты натуральных чисел и еще число $0 = 0^2$.)
4. Есть числа, которые не представимы суммой квадратов трех целых чисел, например, число 7. Оказывается, число не представимо суммой трех квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид $(8k + 7) \cdot 4^m$.
5. По поводу сумм двух квадратов см. комментарий к задаче 4 для 11 класса олимпиады 1996 г.
6. Фактически, представимость результата в заданном виде мы доказываем не для чисел, а для многочленов от нескольких переменных, выписывая тождество. Можно задать такой вопрос: при каких $k$ произведение
$(a^2_1 + a^2_2 + \cdots + a^2_k)(b^2_1 + b^2_2 + \cdots + b^2_k)$
можно представить в виде
$P^2_1 + \cdots + P^2_k$,
где $P_1, \cdots, P_k$ - многочлены от переменных $a_1, \cdots, a_k, b_1, \cdots, b_k$? Приведем соответствующие формулы при $k = 1, 2, 4$.
$n = 1: a^2 \cdot b^2 =(ab)^2$;
$n = 2$ (тождество Диофанта):
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2$
$n = 4$ (тождество Эйлера):
$(a^1_2 + b^1_2 + c^1_2 +d^1_2)(a^2_2 + b^2_2 + c^2_2 + d^2_2) = (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2)^2 + (a_1b_2 +c_1d_2 + a_2b_1 - c_2d_1)^2 + (a_1c_2 + a_2c_1 + b_2d_1 - b_1d_2)^2 + (a_1d_2 + a_2d_1 + b_1c_2 - b_2c_1)^2$.
Существует аналогичное тождество для $n = 8$. Для $n$, отличного от 1, 2, 4 и 8, таких тождеств не существует (хотя доказать это очень не просто)! Чтобы окончательно заинтриговать читателя, скажем, что первое тождество связано с действительными числами, второе - с комплексными, третье - с кватернионами, а невыписанное тождество ($n = 8$) с октавами Кэли.
