Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3147
2019-05-26 
Обозначим через $S(x)$ сумму цифр натурального числа $x$. Решить уравнения:
а) $x + S(x) + S(S(x)) = 1993$;
б) $x+S(x) + S{S(x)} + S(S(S(x))) = 1993$.
Решение:
а) Согласно признаку делимости на 3, числа $x$ и $S(x)$ дают одинаковые остатки от деления на 3. Такой же остаток будет и у числа $S(S(x))$. Значит, сумма
$x+S(x)+S(S(x))$
делится на 3 (так как это сумма трех чисел с одинаковыми остатками от деления на 3). Однако, 1993 на 3 не делится, поэтому решений нет.
б) Ясно, что $x < 1993$. Нетрудно видеть, что среди чисел, меньших 1993, наибольшую сумму цифр 27 имеют числа 1989 и 999. Значит, $S(x) \leq 27$. Далее, $S(S(x)) \leq S(19) = 10$. Наконец, $S(S(S(x))) \leq 9$. Из уравнения следует, что
$x = 1993 - S(x) - S(S(x)) - S(S(S(x))) \geq 1993 - 27 - 10 - 9 = 1947$.
Аналогично пункту «а», все числа $x, S(x), S(S(x)), S(S(S(x)))$ дают одинаковые остатки при делении на 9, а 1993 дает остаток 4, поэтому число $x$ должно давать остаток 1 (см. комментарий). Среди чисел от 1947 до 1993 остаток 1 при делении на 9 дают 1954, 1963, 1972, 1981, 1990. Проверив эти числа, убеждаемся, что подходит только 1963.
Комментарий. Мы использовали такое утверждение: если сумма четырех чисел с одинаковым остатком от деления на 9 дает при делении на 9 остаток 4, то каждое из этих чисел дает остаток 1. Это можно строго доказать либо перебором, либо так: обозначим искомый остаток через $x$. Тогда $4x$ дает остаток 4 при делении на 9. То есть $4(x - 1) = 4x - 4$ делится на 9, и, значит, $x - 1$ делится на 9. То есть $x = 1$.
Ответ: а) Решений нет; б) 1963.
Обозначим через $S(x)$ сумму цифр натурального числа $x$. Решить уравнения:
а) $x + S(x) + S(S(x)) = 1993$;
б) $x+S(x) + S{S(x)} + S(S(S(x))) = 1993$.
Решение:
а) Согласно признаку делимости на 3, числа $x$ и $S(x)$ дают одинаковые остатки от деления на 3. Такой же остаток будет и у числа $S(S(x))$. Значит, сумма
$x+S(x)+S(S(x))$
делится на 3 (так как это сумма трех чисел с одинаковыми остатками от деления на 3). Однако, 1993 на 3 не делится, поэтому решений нет.
б) Ясно, что $x < 1993$. Нетрудно видеть, что среди чисел, меньших 1993, наибольшую сумму цифр 27 имеют числа 1989 и 999. Значит, $S(x) \leq 27$. Далее, $S(S(x)) \leq S(19) = 10$. Наконец, $S(S(S(x))) \leq 9$. Из уравнения следует, что
$x = 1993 - S(x) - S(S(x)) - S(S(S(x))) \geq 1993 - 27 - 10 - 9 = 1947$.
Аналогично пункту «а», все числа $x, S(x), S(S(x)), S(S(S(x)))$ дают одинаковые остатки при делении на 9, а 1993 дает остаток 4, поэтому число $x$ должно давать остаток 1 (см. комментарий). Среди чисел от 1947 до 1993 остаток 1 при делении на 9 дают 1954, 1963, 1972, 1981, 1990. Проверив эти числа, убеждаемся, что подходит только 1963.
Комментарий. Мы использовали такое утверждение: если сумма четырех чисел с одинаковым остатком от деления на 9 дает при делении на 9 остаток 4, то каждое из этих чисел дает остаток 1. Это можно строго доказать либо перебором, либо так: обозначим искомый остаток через $x$. Тогда $4x$ дает остаток 4 при делении на 9. То есть $4(x - 1) = 4x - 4$ делится на 9, и, значит, $x - 1$ делится на 9. То есть $x = 1$.
Ответ: а) Решений нет; б) 1963.
