Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3146
2019-05-19 
Дан выпуклый 1970-угольник. Рассматриваются все треугольники с вершинами в вершинах этого многоугольника. Доказать, что всякая точка плоскости, не лежащая ни на одной из сторон этих треугольников, покрыта четным числом указанных треугольников.
Решение:
Всякая точка $M$ вне многоугольника покрыта нулем треугольников и нуль - четное число. Будем двигать точку $M$ по плоскости. Посмотрим, как при этом будет изменяться четность числа покрывающих ее треугольников. Очевидно, что это число меняется, лишь при пересечении стороны или диагонали многоугольника. Пусть по одну сторону от такого отрезка лежит $n$ вершин многоугольника, тогда по другую будет лежать $1970-n$ вершин. Поэтому если вначале точку покрывало $N$ треугольников, то после пересечения этого отрезка число станет равным $N + 1970 - 2n$, следовательно, четность числа покрывающих точку треугольников не изменится. Утверждение доказано.
Дан выпуклый 1970-угольник. Рассматриваются все треугольники с вершинами в вершинах этого многоугольника. Доказать, что всякая точка плоскости, не лежащая ни на одной из сторон этих треугольников, покрыта четным числом указанных треугольников.
Решение:
Всякая точка $M$ вне многоугольника покрыта нулем треугольников и нуль - четное число. Будем двигать точку $M$ по плоскости. Посмотрим, как при этом будет изменяться четность числа покрывающих ее треугольников. Очевидно, что это число меняется, лишь при пересечении стороны или диагонали многоугольника. Пусть по одну сторону от такого отрезка лежит $n$ вершин многоугольника, тогда по другую будет лежать $1970-n$ вершин. Поэтому если вначале точку покрывало $N$ треугольников, то после пересечения этого отрезка число станет равным $N + 1970 - 2n$, следовательно, четность числа покрывающих точку треугольников не изменится. Утверждение доказано.
