Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3144
2019-05-19 
50 гангстеров стреляют одновременно. Каждый стреляет в ближайшего к нему гангстера (в одного из ближайших, если несколько человек находятся на одинаковом расстоянии от него) и убивает его наповал. Найти наименьшее возможное число убитых.
Решение:
Заметим, во-первых, что в каждом убитом может оказаться не более шести пуль. Допустим обратное, т. е. что гангстер А оказался ближайшим более чем для шести других. Соединим А с его «убийцами» отрезками; так как этих отрезков не меньше семи, то хотя бы между одной парой соседних отрезков угол составит менее $60^{ \circ}$. Пусть это будут отрезки, соединяющие А с В и С (рис.). Так как сумма углов в треугольнике АВС равна $180^{ \circ}$ и $\angle BAC < 60^{ \circ}$, то хотя бы один из углов $\angle ABC$ и $\angle BCA$ больше $60^{ \circ}$ и, следовательно, больше $\angle BAC$; пусть для определенности это угол $\angle ABC$, тогда $|BC| < |AC|$ (против большего угла лежит большая сторона), что противоречит предположению о том, что А ближайший для С. Аналогичным образом видно, что в убитом может оказаться шесть пуль лишь в случае, если он находится в центре правильного шестиугольника, в вершинах которого расположены его «убийцы».
Предположим теперь, что в А оказалось шесть пуль. Так как А тоже стреляет, то он убивает одного из своих убийц (назовем его В). Так как «убийцы» А расположены в вершинах правильного шестиугольника с центром в А, то, как легко видеть, для остальных (кроме А) «убийц» В остается место лишь внутри угла в $120^{ \circ}$ с вершиной в точке В вне круга радиуса $R = |AB|$ с центром в той щ точке. В самом деле, если некий гангстер окажется внутри круга, то В убьет его, а не А, а если он окажется вне указанного угла за кругом, то, как легко видеть, В не будед ближайшим для него, так как С или D будет расположен ближе. В угле $120^{ \circ}$ могут расположиться не более трех «убийц» (рассуждения аналогичны доказательству первого замечания). Следовательно, В будет убит не более чем четырьмя пулями.
Таким образом, доказано, что для каждого гангстера, убитого шестью пулями, существует еще один гангстер, убитый не более чем четырьмя пулями.
Теперь заметим, что из того, что в каждом убитом не более шести пуль, а всего выпущено 50 пуль, следует, что убитых не менее 9. Но, как легко видеть, если убито ровно 9, то число убитых шестью пулями не менее пят Согласно доказанному выше отсюда следует, что должно быть по крайней мере еще пять убитых гангстеров. Это противоречит предположению о том, что убитых ровно девять. Следовательно, число убитых не менее 10.
Ситуация, в которой убитыми оказываются ровно 10 гангстеров, показана на рис. (гангстеры разбиваются на пять групп, по 10 человек в каждой, таких, как на рисунке, и в каждой из групп убитыми оказываются двое);
50 гангстеров стреляют одновременно. Каждый стреляет в ближайшего к нему гангстера (в одного из ближайших, если несколько человек находятся на одинаковом расстоянии от него) и убивает его наповал. Найти наименьшее возможное число убитых.
Решение:
Заметим, во-первых, что в каждом убитом может оказаться не более шести пуль. Допустим обратное, т. е. что гангстер А оказался ближайшим более чем для шести других. Соединим А с его «убийцами» отрезками; так как этих отрезков не меньше семи, то хотя бы между одной парой соседних отрезков угол составит менее $60^{ \circ}$. Пусть это будут отрезки, соединяющие А с В и С (рис.). Так как сумма углов в треугольнике АВС равна $180^{ \circ}$ и $\angle BAC < 60^{ \circ}$, то хотя бы один из углов $\angle ABC$ и $\angle BCA$ больше $60^{ \circ}$ и, следовательно, больше $\angle BAC$; пусть для определенности это угол $\angle ABC$, тогда $|BC| < |AC|$ (против большего угла лежит большая сторона), что противоречит предположению о том, что А ближайший для С. Аналогичным образом видно, что в убитом может оказаться шесть пуль лишь в случае, если он находится в центре правильного шестиугольника, в вершинах которого расположены его «убийцы».
Предположим теперь, что в А оказалось шесть пуль. Так как А тоже стреляет, то он убивает одного из своих убийц (назовем его В). Так как «убийцы» А расположены в вершинах правильного шестиугольника с центром в А, то, как легко видеть, для остальных (кроме А) «убийц» В остается место лишь внутри угла в $120^{ \circ}$ с вершиной в точке В вне круга радиуса $R = |AB|$ с центром в той щ точке. В самом деле, если некий гангстер окажется внутри круга, то В убьет его, а не А, а если он окажется вне указанного угла за кругом, то, как легко видеть, В не будед ближайшим для него, так как С или D будет расположен ближе. В угле $120^{ \circ}$ могут расположиться не более трех «убийц» (рассуждения аналогичны доказательству первого замечания). Следовательно, В будет убит не более чем четырьмя пулями.
Таким образом, доказано, что для каждого гангстера, убитого шестью пулями, существует еще один гангстер, убитый не более чем четырьмя пулями.
Теперь заметим, что из того, что в каждом убитом не более шести пуль, а всего выпущено 50 пуль, следует, что убитых не менее 9. Но, как легко видеть, если убито ровно 9, то число убитых шестью пулями не менее пят Согласно доказанному выше отсюда следует, что должно быть по крайней мере еще пять убитых гангстеров. Это противоречит предположению о том, что убитых ровно девять. Следовательно, число убитых не менее 10.
Ситуация, в которой убитыми оказываются ровно 10 гангстеров, показана на рис. (гангстеры разбиваются на пять групп, по 10 человек в каждой, таких, как на рисунке, и в каждой из групп убитыми оказываются двое);
