Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3143
2019-05-19 
Космонавты К, Е и Ф соревнуются в космическом многоборье. В каждом виде соревнований победитель получает А очков, занявший второе место - В очков, последний - С очков. А, В и С - натуральные числа. После окончания всех соревнований К получил 22 очка, Е и Ф - по 9 очков. Соревнование на быстроту реакции выиграл Е. Кто был вторым в соревновании на выносливость?
Решение:
Обозначим: $n$ - число всех соревнований, $D = A + B + C$.
Имеем: $nD = 22 + 9+9=40$. Значит, $n$ есть делитель 40. Так как $A > B > C > 0$, то $E$ в соревновании на быстроту реакции получил не менее трех очков. Всего $E$ набрал 9 очков. Поэтому $n \leq 7$. Таким образом, имеем три случая: $n = 2, n = 4, n = 5$.
I случай ($n=2$) невозможен: очевидно, $A<9$, значит, $2A < 18 < 22$.
II случай ($n = 4$). Имеем: $D = 10$. Поэтому $A \leq 7$. Но К набрал 22 очка. Следовательно, $A \geq 6$.
Пусть $A = 7$. Тогда $E$ набрал не менее 10 очков - противоречие.
Пусть $A = 6$. Тогда $B \geq 3$ и К получил не более чем $6 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 21$ очко - противоречие.
Итак, II случай также невозможен.
III случай ($n = 5$). В этом случае $D = 8$. Поэтому $A \leq 5$.
С другой стороны, К получил 22 очка. Значит, $A \geq 5$.
Итак, $A = 5, B = 2, C = 1$.
В соревновании на быстроту реакции $E$ получил 5 очков; всего Е получил 9 очков. Поэтому в каждом из остальных четырех соревнований $E$ набрал по одному очку.
В соревновании на быстроту реакции К получил не более 2 очков; всего К набрал 22 очка. Поэтому в каждом из остальных четырех соревнований К набрал по 5 очков (а в соревновании на быстроту реакции - 2 очка).
Ответ: вторым в соревновании на выносливость был Ф.
Космонавты К, Е и Ф соревнуются в космическом многоборье. В каждом виде соревнований победитель получает А очков, занявший второе место - В очков, последний - С очков. А, В и С - натуральные числа. После окончания всех соревнований К получил 22 очка, Е и Ф - по 9 очков. Соревнование на быстроту реакции выиграл Е. Кто был вторым в соревновании на выносливость?
Решение:
Обозначим: $n$ - число всех соревнований, $D = A + B + C$.
Имеем: $nD = 22 + 9+9=40$. Значит, $n$ есть делитель 40. Так как $A > B > C > 0$, то $E$ в соревновании на быстроту реакции получил не менее трех очков. Всего $E$ набрал 9 очков. Поэтому $n \leq 7$. Таким образом, имеем три случая: $n = 2, n = 4, n = 5$.
I случай ($n=2$) невозможен: очевидно, $A<9$, значит, $2A < 18 < 22$.
II случай ($n = 4$). Имеем: $D = 10$. Поэтому $A \leq 7$. Но К набрал 22 очка. Следовательно, $A \geq 6$.
Пусть $A = 7$. Тогда $E$ набрал не менее 10 очков - противоречие.
Пусть $A = 6$. Тогда $B \geq 3$ и К получил не более чем $6 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 21$ очко - противоречие.
Итак, II случай также невозможен.
III случай ($n = 5$). В этом случае $D = 8$. Поэтому $A \leq 5$.
С другой стороны, К получил 22 очка. Значит, $A \geq 5$.
Итак, $A = 5, B = 2, C = 1$.
В соревновании на быстроту реакции $E$ получил 5 очков; всего Е получил 9 очков. Поэтому в каждом из остальных четырех соревнований $E$ набрал по одному очку.
В соревновании на быстроту реакции К получил не более 2 очков; всего К набрал 22 очка. Поэтому в каждом из остальных четырех соревнований К набрал по 5 очков (а в соревновании на быстроту реакции - 2 очка).
Ответ: вторым в соревновании на выносливость был Ф.
