Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3142
2019-05-19 
На плоскости расположены $n$ окружностей ($n \geq 5$). Известно, что любые три из них имеют общую точку. Доказать, что и все $n$ окружностей имеют общую точку.
Решение:
Заметим, что если какие-нибудь две из данных окружностей имеют единственную общую точку, то через эту точку согласно условию обязаны проходить и все остальные окружности. В этом случае утверждение задачи очевидно.
Пусть любые окружности из данных имеют две точка пересечения. Выберем две произвольные окружности из данных $O_{1}$ и $O_{2}$ и обозначим их точки пересечения через А и В. По условию задачи каждая из оставшихся окружностей обязана проходить по крайней мере через одну из точек А и В. Если все они проходят через точку А (или все проходят через точку В), то утверждение задачи выполнено.
Пусть окружность $O_{3}$ проходит через точку А, но не проходит через точку В, а окружность $O_{4}$ проходит через точку В, но не проходит через А.
Одна из точек пересечения этих окружностей (обозначим ее через С) обязана лежать на окружности $O_{1}$, так как окружности $O_{1}, O_{3}$ и $O_{4}$ должны иметь общую точку, а другая (обозначим ее через D) - на окружности $O_{2}$, так как окружности $O_{2}, O_{3}$ и $O_{4}$ также обязаны иметь общую точку.
Осталось заметить, что любая пара точек из совокупности А, В, С, D является парой точек пересечения каких-нибудь двух из четырех выбранных нами окружностей, а любые три лежат на одной из этих окружностей. Поэтому любая пятая окружность из данной совокупности, с одной стороны, не может содержать более двух из точек А, B, C, D, а с другой стороны, должна содержать по одной точке из любого двухточечного подмножества этой совокупности. А это, очевидно, не может быть одновременно. Доказательство окончено.
На плоскости расположены $n$ окружностей ($n \geq 5$). Известно, что любые три из них имеют общую точку. Доказать, что и все $n$ окружностей имеют общую точку.
Решение:
Заметим, что если какие-нибудь две из данных окружностей имеют единственную общую точку, то через эту точку согласно условию обязаны проходить и все остальные окружности. В этом случае утверждение задачи очевидно.
Пусть любые окружности из данных имеют две точка пересечения. Выберем две произвольные окружности из данных $O_{1}$ и $O_{2}$ и обозначим их точки пересечения через А и В. По условию задачи каждая из оставшихся окружностей обязана проходить по крайней мере через одну из точек А и В. Если все они проходят через точку А (или все проходят через точку В), то утверждение задачи выполнено.
Пусть окружность $O_{3}$ проходит через точку А, но не проходит через точку В, а окружность $O_{4}$ проходит через точку В, но не проходит через А.
Одна из точек пересечения этих окружностей (обозначим ее через С) обязана лежать на окружности $O_{1}$, так как окружности $O_{1}, O_{3}$ и $O_{4}$ должны иметь общую точку, а другая (обозначим ее через D) - на окружности $O_{2}$, так как окружности $O_{2}, O_{3}$ и $O_{4}$ также обязаны иметь общую точку.
Осталось заметить, что любая пара точек из совокупности А, В, С, D является парой точек пересечения каких-нибудь двух из четырех выбранных нами окружностей, а любые три лежат на одной из этих окружностей. Поэтому любая пятая окружность из данной совокупности, с одной стороны, не может содержать более двух из точек А, B, C, D, а с другой стороны, должна содержать по одной точке из любого двухточечного подмножества этой совокупности. А это, очевидно, не может быть одновременно. Доказательство окончено.
