Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3141
2019-05-19 
Из вершины А квадрата ABCD проведена прямая. Тангенс угла наклона этой прямой к стороне AD равен $\frac{k}{p}$ ($k$ и $p$ - натуральные числа). Точка $A_{1}$ пересечения этой прямой с границей квадрата ортогонально проектируется в точку $A_{2}$ на противоположной стороне квадрата. Из точки $A_{2}$ проводится прямая, параллельная прямой $AA_{1}$, вновь до пересечения с границей квадрата в точке $A_{3}$. Точка $A_{3}$ ортогонально проектируется на противоположную сторону квадрата в точку $A_{4}$ и т. д.
На сколько частей проведенные прямые разобьют квадрат?
Решение:
Прежде всего отметим, что указанное в задаче построение нужно делать лишь до тех пор, пока мы не попадем в вершину квадрата. Далее оно повторяется, и луч проходит по тем же отрезкам.
При дальнейшем решении этой задачи воспользуемся следующим методом: рассмотрим квадратную сетку на плоскости и каждый отрезок изобразим в своем квадрате так, чтобы в совокупности они образовывали луч, выходящий из точки А. Будем считать, что числа $k$ и $p$ взаимно просты. Наш луч пройдет по диагонали прямоугольника, составленного из линий сетки и имеющего одну из сторон равной $k$, а другую равной $p$ (за единицу длины выбираем длину стороны квадрата). При этом он не проходит нй через один из узлов сетки (не считая концов этой диагонали). Между концами диагонали он пересекает $k-1$ горизонтальную прямую и $p-1$ вертикальную прямую. Таким образом, на этой диагонали возникают $p + k - 2$ точки, которые разобьют ее на $p+k-1$ отрезков. Перенеся эти отрезки согласно правилу их построения на исходный квадрат, получим, что они разобьют его на $p+k$ частей. Мы предположили, что $p$ и $k$ взаимно просты, если же не так, то смысл задачи не изменится при замене $p$ на $p: (p, k)$, а $k$ на $k:(p,k)$, где $(p, k)$ - наибольший общий делитель чисел $p$ и $k$. Таким образом, в общем случае ответ будет таков: $\frac{p + k}{(p,k)}$.
Из вершины А квадрата ABCD проведена прямая. Тангенс угла наклона этой прямой к стороне AD равен $\frac{k}{p}$ ($k$ и $p$ - натуральные числа). Точка $A_{1}$ пересечения этой прямой с границей квадрата ортогонально проектируется в точку $A_{2}$ на противоположной стороне квадрата. Из точки $A_{2}$ проводится прямая, параллельная прямой $AA_{1}$, вновь до пересечения с границей квадрата в точке $A_{3}$. Точка $A_{3}$ ортогонально проектируется на противоположную сторону квадрата в точку $A_{4}$ и т. д.
На сколько частей проведенные прямые разобьют квадрат?
Решение:
Прежде всего отметим, что указанное в задаче построение нужно делать лишь до тех пор, пока мы не попадем в вершину квадрата. Далее оно повторяется, и луч проходит по тем же отрезкам.
При дальнейшем решении этой задачи воспользуемся следующим методом: рассмотрим квадратную сетку на плоскости и каждый отрезок изобразим в своем квадрате так, чтобы в совокупности они образовывали луч, выходящий из точки А. Будем считать, что числа $k$ и $p$ взаимно просты. Наш луч пройдет по диагонали прямоугольника, составленного из линий сетки и имеющего одну из сторон равной $k$, а другую равной $p$ (за единицу длины выбираем длину стороны квадрата). При этом он не проходит нй через один из узлов сетки (не считая концов этой диагонали). Между концами диагонали он пересекает $k-1$ горизонтальную прямую и $p-1$ вертикальную прямую. Таким образом, на этой диагонали возникают $p + k - 2$ точки, которые разобьют ее на $p+k-1$ отрезков. Перенеся эти отрезки согласно правилу их построения на исходный квадрат, получим, что они разобьют его на $p+k$ частей. Мы предположили, что $p$ и $k$ взаимно просты, если же не так, то смысл задачи не изменится при замене $p$ на $p: (p, k)$, а $k$ на $k:(p,k)$, где $(p, k)$ - наибольший общий делитель чисел $p$ и $k$. Таким образом, в общем случае ответ будет таков: $\frac{p + k}{(p,k)}$.
