Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3140
2019-05-19 
Из одинаковых равносторонних треугольников черного и белого цвета сложен большой равносторонний треугольник, причем каждый из черных треугольников граничит по стороне лишь с четным числом белых треугольников, а каждый белый треугольник - с нечетным числом белых треугольников. Доказать, что маленькие треугольники, стоящие в вершинах большого треугольника, обязаны быть одного и того же цвета (рис.).
Решение:
Заметим, что если записать внутри каждого белого: треугольника число - 1, а внутри каждого черного тре^ угольника число +1, то условие задачи выразится так: произведение числа, стоящего в произвольном треугольнике, на числа, стоящие в соседних с ним треугольниках, равно +1.
Рассмотрим теперь последние четыре ряда треугольников. Они изображены на рис. Цифры внутри треугольников указывают номер ряда.
Запишем для каждого треугольника третьего ряда соотношение задачи и перемножим эти соотношения. Бели обозначить через $П_{1}, П_{2}, П_{3}$ и $П_{4}$ произведения всех чисел, в треугольниках соответствующего ряда, то в результате получим следующее соотношение: $П_{2} \cdot П_{3} \cdot П_{4}^{2} = + 1$. Действительно, каждое число из четвертого ряда войдет в соотношение по два раза, а из второго и третьего по одному.
Аналогично запишем такое соотношение для треугольников второго ряда. Получим: $П_{2} \cdot П_{3} \cdot П_{1}^{2}/П = 1$ ( через $П$ обозначено произведение чисел в двух крайних треугольниках). Действительно, числа из треугольников второго и третьего ряда войдут по одному разу, а из первого - по два, за исключением чисел в двух крайних треугольниках, которые войдут по одному разу.
Перемножив полученные соотношения, в результате будем иметь: $П_{1}^{2} П_{2}^{2} П_{3}^{2} П_{4}^{2} = П$. А так как все числа равны $\pm 1$, то $П = +1$. Следовательно, числа в крайних треугольниках имеют одинаковые знаки, то есть они были одинаково окрашены.
Утверждение доказано.
Из одинаковых равносторонних треугольников черного и белого цвета сложен большой равносторонний треугольник, причем каждый из черных треугольников граничит по стороне лишь с четным числом белых треугольников, а каждый белый треугольник - с нечетным числом белых треугольников. Доказать, что маленькие треугольники, стоящие в вершинах большого треугольника, обязаны быть одного и того же цвета (рис.).
Решение:
Заметим, что если записать внутри каждого белого: треугольника число - 1, а внутри каждого черного тре^ угольника число +1, то условие задачи выразится так: произведение числа, стоящего в произвольном треугольнике, на числа, стоящие в соседних с ним треугольниках, равно +1.
Рассмотрим теперь последние четыре ряда треугольников. Они изображены на рис. Цифры внутри треугольников указывают номер ряда.
Запишем для каждого треугольника третьего ряда соотношение задачи и перемножим эти соотношения. Бели обозначить через $П_{1}, П_{2}, П_{3}$ и $П_{4}$ произведения всех чисел, в треугольниках соответствующего ряда, то в результате получим следующее соотношение: $П_{2} \cdot П_{3} \cdot П_{4}^{2} = + 1$. Действительно, каждое число из четвертого ряда войдет в соотношение по два раза, а из второго и третьего по одному.
Аналогично запишем такое соотношение для треугольников второго ряда. Получим: $П_{2} \cdot П_{3} \cdot П_{1}^{2}/П = 1$ ( через $П$ обозначено произведение чисел в двух крайних треугольниках). Действительно, числа из треугольников второго и третьего ряда войдут по одному разу, а из первого - по два, за исключением чисел в двух крайних треугольниках, которые войдут по одному разу.
Перемножив полученные соотношения, в результате будем иметь: $П_{1}^{2} П_{2}^{2} П_{3}^{2} П_{4}^{2} = П$. А так как все числа равны $\pm 1$, то $П = +1$. Следовательно, числа в крайних треугольниках имеют одинаковые знаки, то есть они были одинаково окрашены.
Утверждение доказано.
