Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3139
2019-05-19 
В 1964 г. начинает издаваться альманах «Юный физик», который будет выпускаться нерегулярно, но не реже, чем 5 номеров в 3 года. Докажите, что если альманах будет издаваться достаточно долго, то в некотором году его номер совпадет с годом.
Решение:
Сначала покажем, что через некоторое время номер журнала станет больше года его выпуска. Действительно, через 8000 лет по условию выйдет не менее $\frac{3000}{3} \cdot 5 = 5000$ номеров, а год будет 1964+3000=4964, следовательно, год издания в это время будет меньше номера журнала.
Доказательство основного утверждения задачи проведем от противного. Предположим, что не существовало года, когда номер журнала совпадал с годом его выпуска. Пусть $N$-й год - первый из тех лет, в которых номер журнала стал больше года выпуска. В этом году должен выйти $(N + 1)$-й номер журнала, ибо если бы он вышел раньше, в году $N-k$, то $N$-й год не был бы первым годом в котором номер стал больше года выпуска, поскольку это имело бы место и для года $N-k$. Позже $N$-го года журнал тоже не мог выйти, так как в противном случае в этом году вышли бы лишь журналы, имеющие номер, не больший $N$. Итак, в $N$-ом году вышел $(N+1)$-й номер журнала, $N$-й номер в этом году не мог выйти по предположению, следовательно, он вышел в некотором году $N - n$, но это означает, что в году $N-n$ номер журнала $(N)$ больше года издания $(N - n)$. Таким образом, $N$-й год не является первым из тех, в которые номер журнала стал больше года выпуска. Получено противоречие с допущением, что не существует года, в котором номер журнала равен году издания, следовательно, такой год существует.
В 1964 г. начинает издаваться альманах «Юный физик», который будет выпускаться нерегулярно, но не реже, чем 5 номеров в 3 года. Докажите, что если альманах будет издаваться достаточно долго, то в некотором году его номер совпадет с годом.
Решение:
Сначала покажем, что через некоторое время номер журнала станет больше года его выпуска. Действительно, через 8000 лет по условию выйдет не менее $\frac{3000}{3} \cdot 5 = 5000$ номеров, а год будет 1964+3000=4964, следовательно, год издания в это время будет меньше номера журнала.
Доказательство основного утверждения задачи проведем от противного. Предположим, что не существовало года, когда номер журнала совпадал с годом его выпуска. Пусть $N$-й год - первый из тех лет, в которых номер журнала стал больше года выпуска. В этом году должен выйти $(N + 1)$-й номер журнала, ибо если бы он вышел раньше, в году $N-k$, то $N$-й год не был бы первым годом в котором номер стал больше года выпуска, поскольку это имело бы место и для года $N-k$. Позже $N$-го года журнал тоже не мог выйти, так как в противном случае в этом году вышли бы лишь журналы, имеющие номер, не больший $N$. Итак, в $N$-ом году вышел $(N+1)$-й номер журнала, $N$-й номер в этом году не мог выйти по предположению, следовательно, он вышел в некотором году $N - n$, но это означает, что в году $N-n$ номер журнала $(N)$ больше года издания $(N - n)$. Таким образом, $N$-й год не является первым из тех, в которые номер журнала стал больше года выпуска. Получено противоречие с допущением, что не существует года, в котором номер журнала равен году издания, следовательно, такой год существует.
