Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3136
2019-05-19 
На плоскости рассматриваются самонепересекающиеся многоугольники, все стороны которых выражаются целыми числами, а углы прямые. Найти величину, наибольшей и наименьшей площади таких многоугольников, если все они имеют один и тот же данный периметр, равный $4n$ ($n$ - целое).
Решение:
Для удобства будем рассматривать многоугольники на клетчатой бумаге со стороной клетки, равной 1, причем их стороны проходят по линиям сетки, а вершины находятся в узлах. Найдем сначала многоугольник с максимальной площадью. Пусть дан некоторый многоугольник. Рассмотрим вместе с ним прямоугольник, построенный следующим образом: проведем прямые через крайнюю левую, крайнюю правую, самую верхнюю и самую нижнюю стороны данного многоугольника. Многоугольник будет находиться внутри построенного прямоугольника, следовательно, его площадь не превосходит площади этого прямоугольника, а периметр прямоугольника будет не больше периметра данного многоугольника. Если стороны построенного прямоугольника равны $k$ и $m$, то его площадь равна $km$; но из условия на периметр $2(k + m) \leq 4n$, следовательно, $km = k (k + m - k) \leq k (2n - k) = - (k^{2} - 2kn + n^{2}) + n^{2} = n^{2} - (n - k)^{2} \leq n^{2}$. Таким образом, максимальная площадь не больше $n^{2}$, она будет равна $n^{2}$ у квадрата со стороной, равной $n$.
Для нахождения наименьшей из площадей наших многоугольников удобно воспользоваться формулой $S = j + \frac{r}{2} - 1$, где $S$ - площадь многоугольника, $j$ - число узлов сетки внутри многоугольника, а $r$ - число узлов сетки на его границе. Из этой формулы вытекает, что минимальная площадь будет в том случае, когда $j = 0$. Число узлов сетки на границе в нашем случае равно периметру и не зависит от формы многоугольника, то есть минимальная площадь равна $2n - 1$ и достигается во многих случая*.
На плоскости рассматриваются самонепересекающиеся многоугольники, все стороны которых выражаются целыми числами, а углы прямые. Найти величину, наибольшей и наименьшей площади таких многоугольников, если все они имеют один и тот же данный периметр, равный $4n$ ($n$ - целое).
Решение:
Для удобства будем рассматривать многоугольники на клетчатой бумаге со стороной клетки, равной 1, причем их стороны проходят по линиям сетки, а вершины находятся в узлах. Найдем сначала многоугольник с максимальной площадью. Пусть дан некоторый многоугольник. Рассмотрим вместе с ним прямоугольник, построенный следующим образом: проведем прямые через крайнюю левую, крайнюю правую, самую верхнюю и самую нижнюю стороны данного многоугольника. Многоугольник будет находиться внутри построенного прямоугольника, следовательно, его площадь не превосходит площади этого прямоугольника, а периметр прямоугольника будет не больше периметра данного многоугольника. Если стороны построенного прямоугольника равны $k$ и $m$, то его площадь равна $km$; но из условия на периметр $2(k + m) \leq 4n$, следовательно, $km = k (k + m - k) \leq k (2n - k) = - (k^{2} - 2kn + n^{2}) + n^{2} = n^{2} - (n - k)^{2} \leq n^{2}$. Таким образом, максимальная площадь не больше $n^{2}$, она будет равна $n^{2}$ у квадрата со стороной, равной $n$.
Для нахождения наименьшей из площадей наших многоугольников удобно воспользоваться формулой $S = j + \frac{r}{2} - 1$, где $S$ - площадь многоугольника, $j$ - число узлов сетки внутри многоугольника, а $r$ - число узлов сетки на его границе. Из этой формулы вытекает, что минимальная площадь будет в том случае, когда $j = 0$. Число узлов сетки на границе в нашем случае равно периметру и не зависит от формы многоугольника, то есть минимальная площадь равна $2n - 1$ и достигается во многих случая*.
