Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3135
2019-05-19 
Канал имеет прямоугольный поворот. Какой максимальной площади прямоугольный плот может пройти По этому каналу?
Решение:
Будем различать два случая: первый - если все его стороны не больше $H$ и второй - одна пара сторон больше $H$ (обе пары сторон не могут быть одновременно больше $H$, иначе плот не уместится в канале).
В первом случае площадь $S$ плота не превосходит $H^{2}$, Квадратный плот со стороной $H$ можно провести по каналу, совершив два параллельных переноса. Во втором случае плот при прохождении поворота должен повернуться на $90^{ \circ}$. В некоторый момент его стороны образуют угол в $45^{ \circ}$ с берегами. При этом он должен уместиться внутри равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (рис.). Легко усмотреть, что плот максимальной площади, помещающийся в треугольнике АВС, должен одной из своих сторон лежать на гипотенузе этого треугольника, а вершины, лежащие на другой стороне, должны находиться на катетах треугольника. Катеты треугольника равны по $2H$. Обозначим длину стороны плота, лежащей на гипотенузе треугольника, через $x$, тогда перпендикулярная ей сторона равна половине разности между длиной гипотенузы и длиной лежащей на ней стороны плота, то есть $\frac{1}{2}(2H \sqrt{2} - x)$. Таким образом, площадь плота в этом случае равна $x \left ( H \sqrt{2} - \frac{x}{2} \right )$. Преобразуем это выражение к виду:
$- \frac{1}{2}( x^{2} - 2Hx \sqrt{2} + 2H^{2}) + H^{2} = H^{2} - \frac{1}{2} (x - H \sqrt{2})^{2}$.
Это выражение максимально при $x = H \sqrt{2}$ и при этом равно $H^{2}$. И в этом случае мы также получили в качестве наибольшей площади плота $S = H^{2}$, вторая сторона плота при этом равна $\frac{1}{2} (2H \sqrt{2} - H \sqrt{2}) = \frac{H \sqrt{2} }{2}$. Такой плот может быть проведен через поворот следующим образом: установим его у поворота так, чтобы одна из больших его сторон своей серединой упиралась в вершину выступающего угла канала, и повернем плот вокруг вершины этого угла на $90^{ \circ}$. Это можно сделать, поскольку расстояние середины большой стороны плота до любой его точки не превосходит расстояния ее до вершин на противоположной стороне, которое равно $\frac{1}{2} H \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = H$. Следовательно, при повороте плот лишь коснется берегов канала.
Канал имеет прямоугольный поворот. Какой максимальной площади прямоугольный плот может пройти По этому каналу?
Решение:
Будем различать два случая: первый - если все его стороны не больше $H$ и второй - одна пара сторон больше $H$ (обе пары сторон не могут быть одновременно больше $H$, иначе плот не уместится в канале).
В первом случае площадь $S$ плота не превосходит $H^{2}$, Квадратный плот со стороной $H$ можно провести по каналу, совершив два параллельных переноса. Во втором случае плот при прохождении поворота должен повернуться на $90^{ \circ}$. В некоторый момент его стороны образуют угол в $45^{ \circ}$ с берегами. При этом он должен уместиться внутри равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (рис.). Легко усмотреть, что плот максимальной площади, помещающийся в треугольнике АВС, должен одной из своих сторон лежать на гипотенузе этого треугольника, а вершины, лежащие на другой стороне, должны находиться на катетах треугольника. Катеты треугольника равны по $2H$. Обозначим длину стороны плота, лежащей на гипотенузе треугольника, через $x$, тогда перпендикулярная ей сторона равна половине разности между длиной гипотенузы и длиной лежащей на ней стороны плота, то есть $\frac{1}{2}(2H \sqrt{2} - x)$. Таким образом, площадь плота в этом случае равна $x \left ( H \sqrt{2} - \frac{x}{2} \right )$. Преобразуем это выражение к виду:
$- \frac{1}{2}( x^{2} - 2Hx \sqrt{2} + 2H^{2}) + H^{2} = H^{2} - \frac{1}{2} (x - H \sqrt{2})^{2}$.
Это выражение максимально при $x = H \sqrt{2}$ и при этом равно $H^{2}$. И в этом случае мы также получили в качестве наибольшей площади плота $S = H^{2}$, вторая сторона плота при этом равна $\frac{1}{2} (2H \sqrt{2} - H \sqrt{2}) = \frac{H \sqrt{2} }{2}$. Такой плот может быть проведен через поворот следующим образом: установим его у поворота так, чтобы одна из больших его сторон своей серединой упиралась в вершину выступающего угла канала, и повернем плот вокруг вершины этого угла на $90^{ \circ}$. Это можно сделать, поскольку расстояние середины большой стороны плота до любой его точки не превосходит расстояния ее до вершин на противоположной стороне, которое равно $\frac{1}{2} H \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = H$. Следовательно, при повороте плот лишь коснется берегов канала.
