Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3134
2019-05-19 
На уроке физкультуры учитель расставил школьников на прямой тропинке. По сигналу учителя дети бегут к тому из школьников, на которого покажет учитель, а потом на свои места. Докажите, что после нескольких таких пробежек наибольшее расстояние пробежит один из крайних школьников.
Решение:
Предположим противное, пусть наибольшее расстояние пробежал мальчик А, а его сосед слева (В) пробежал меньше. Пусть А бегал налево $n$ раз, направо $m$ раз и оставался на месте $k$ раз. Обозначим расстояние между А и В через $l$. Тогда В пробежал меньше, чем А, на $(n-m-k)l$, то есть $n - m - k > 0$. Сосед же мальчика A справа - мальчик С - пробежал на $(m-n-k)d$ меньше чем А, где $d$ - расстояние между А и С. Но $m - n - k = - (n-m-k) - 2k < 0$. Следовательно, вопреки предположению, С пробежал больше, чем А. Мы использовали лишь то обстоятельство, что у пробежавшего больше всех есть сосед слева и сосед справа. Полученное противоречие показывает, что у него сосед может быть лишь с одной стороны.
Второе решение, из которого и появилась эта задача, таково: введем на прямой координаты, пусть в $k$-й раз бежали к точке х тогда мальчик, стоящий в точке $x_{k}$, пробежал $|x - x_{k}|$. Осталось заметить, что $y_{k} = |x - x_{k}|$ - функция, выпуклая вниз, сумма таких функций также выпукла вниз, а выпуклая вниз функция принимает наибольшее значение на одном из концов отрезка ее задания.
На уроке физкультуры учитель расставил школьников на прямой тропинке. По сигналу учителя дети бегут к тому из школьников, на которого покажет учитель, а потом на свои места. Докажите, что после нескольких таких пробежек наибольшее расстояние пробежит один из крайних школьников.
Решение:
Предположим противное, пусть наибольшее расстояние пробежал мальчик А, а его сосед слева (В) пробежал меньше. Пусть А бегал налево $n$ раз, направо $m$ раз и оставался на месте $k$ раз. Обозначим расстояние между А и В через $l$. Тогда В пробежал меньше, чем А, на $(n-m-k)l$, то есть $n - m - k > 0$. Сосед же мальчика A справа - мальчик С - пробежал на $(m-n-k)d$ меньше чем А, где $d$ - расстояние между А и С. Но $m - n - k = - (n-m-k) - 2k < 0$. Следовательно, вопреки предположению, С пробежал больше, чем А. Мы использовали лишь то обстоятельство, что у пробежавшего больше всех есть сосед слева и сосед справа. Полученное противоречие показывает, что у него сосед может быть лишь с одной стороны.
Второе решение, из которого и появилась эта задача, таково: введем на прямой координаты, пусть в $k$-й раз бежали к точке х тогда мальчик, стоящий в точке $x_{k}$, пробежал $|x - x_{k}|$. Осталось заметить, что $y_{k} = |x - x_{k}|$ - функция, выпуклая вниз, сумма таких функций также выпукла вниз, а выпуклая вниз функция принимает наибольшее значение на одном из концов отрезка ее задания.
