Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3131
2019-05-19 
На всесоюзную олимпиаду школьников посылается от каждой области четыре человека. Кроме того, посылаются школьники - победители прошлогодней олимпиады. За каждого 8-классника области начисляется 1 очко, за 9-классника - 2 очка, за 10-классника - 3 очка. Какое максимальное число очков может набрать область за первые пять лет проведения олимпиад?
Количество победителей на каждой всесоюзной олимпиаде заранее не ограничивается.
Решение:
Доказательство. Будем набирать в команду на протяжении первых трех лет восьмиклассников, на четвертый год - девятиклассников, а на пятый год - десятиклассников. В этом случае мы можем набрать 104 очка. Докажем, что в любом другом случае мы наберем меньше очков.
Действительно, если мы заменим хотя бы одного десятиклассника девяти- или восьмиклассником, мы, очевидно, наберем не более 103 (102) очков. Замена девятиклассника десяти- или восьмиклассником ведет к потере не менее чем двух очков. В самом деле, десятиклассник, введенный в команду, дает ей на первом году своего участия в олимпиаде выигрыш в одно очко по сравнению с девятиклассником. Однако в этом случае на следующий год команда уменьшится по крайней мере на одного человека, то есть теряет (по сравнению с «оптимальным» вариантом) не менее трех очков.
Точно так же при замене девятиклассника восьмиклассником теряется одно очко в год замены и не менее одного - на следующий год.
Аналогично показывается, что при замене хотя бы одного восьмиклассника десяти- или девятиклассником теряется не менее трех (одного) очка.
Ответ: 104.
На всесоюзную олимпиаду школьников посылается от каждой области четыре человека. Кроме того, посылаются школьники - победители прошлогодней олимпиады. За каждого 8-классника области начисляется 1 очко, за 9-классника - 2 очка, за 10-классника - 3 очка. Какое максимальное число очков может набрать область за первые пять лет проведения олимпиад?
Количество победителей на каждой всесоюзной олимпиаде заранее не ограничивается.
Решение:
Доказательство. Будем набирать в команду на протяжении первых трех лет восьмиклассников, на четвертый год - девятиклассников, а на пятый год - десятиклассников. В этом случае мы можем набрать 104 очка. Докажем, что в любом другом случае мы наберем меньше очков.
Действительно, если мы заменим хотя бы одного десятиклассника девяти- или восьмиклассником, мы, очевидно, наберем не более 103 (102) очков. Замена девятиклассника десяти- или восьмиклассником ведет к потере не менее чем двух очков. В самом деле, десятиклассник, введенный в команду, дает ей на первом году своего участия в олимпиаде выигрыш в одно очко по сравнению с девятиклассником. Однако в этом случае на следующий год команда уменьшится по крайней мере на одного человека, то есть теряет (по сравнению с «оптимальным» вариантом) не менее трех очков.
Точно так же при замене девятиклассника восьмиклассником теряется одно очко в год замены и не менее одного - на следующий год.
Аналогично показывается, что при замене хотя бы одного восьмиклассника десяти- или девятиклассником теряется не менее трех (одного) очка.
Ответ: 104.
