Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3129
2019-05-19 
Играют двое. Вначале первый из играющих ставит две фишки (свою и противника) в какие-либо вершины правильного $2n$-угольника, стороны которого не проведены, а затем передвигает свою фишку в другую вершину многоугольника и проводит карандашом диагональ или сторону, соединяющую эти вершины. После этого второй передвигает свою фишку в одну из вершин и отмечает свой путь и т. д. Запрещается передвигаться в вершину, занятую в этот момент противником, и передвигаться по уже пройденному пути. Проигрывает тот, кто в некоторый момент не сможет передвинуть свою фишку, не нарушая правила. Доказать, что при правильной игре второй всегда выигрывает.
Решение:
Сделаем вначале простое замечание. Рассмотрим какую-либо диагональ или сторону правильного $2n$-угольника и какую-либо его вершину. Легко видеть, что через эту вершину можно провести диагональ или сторону, симметричную данной относительно некоторой прямой, проходящей через центр $2n$-угольника.
I случай. До начала игры обе фишки расположены на одной стороне многоугольника. В этом случае из замечания, сделанного выше, ясна стратегия второго игрока: после каждого хода первого передвигать свою фишку так, чтобы отмеченный путь был симметричен пути, отмеченному первым игроком, относительно прямой, проходящей через центр многоугольника и середину этой стороны.
II случай. До начала игры фишки стоят в произвольных вершинах. Отобразим множество вершин данного $2n$-угольника взаимно однозначно на множество вершин некоторого правильного $2n$-угольника таким образом, чтобы фишки оказались в соседних вершинах.
Стратегия второго игрока. Каждым ходом второй игрок ставит свою фишку в вершину данного $2n$-угольника, отвечающую той вершине нового $2n$-угольника, в которую второй игрок поставил бы фишку в случае I.
Ясно, что при такой стратегии второй всегда выигрывает.
Замечание. Авторам неизвестно решение этой задачи для многоугольников с нечетным числом сторон.
Играют двое. Вначале первый из играющих ставит две фишки (свою и противника) в какие-либо вершины правильного $2n$-угольника, стороны которого не проведены, а затем передвигает свою фишку в другую вершину многоугольника и проводит карандашом диагональ или сторону, соединяющую эти вершины. После этого второй передвигает свою фишку в одну из вершин и отмечает свой путь и т. д. Запрещается передвигаться в вершину, занятую в этот момент противником, и передвигаться по уже пройденному пути. Проигрывает тот, кто в некоторый момент не сможет передвинуть свою фишку, не нарушая правила. Доказать, что при правильной игре второй всегда выигрывает.
Решение:
Сделаем вначале простое замечание. Рассмотрим какую-либо диагональ или сторону правильного $2n$-угольника и какую-либо его вершину. Легко видеть, что через эту вершину можно провести диагональ или сторону, симметричную данной относительно некоторой прямой, проходящей через центр $2n$-угольника.
I случай. До начала игры обе фишки расположены на одной стороне многоугольника. В этом случае из замечания, сделанного выше, ясна стратегия второго игрока: после каждого хода первого передвигать свою фишку так, чтобы отмеченный путь был симметричен пути, отмеченному первым игроком, относительно прямой, проходящей через центр многоугольника и середину этой стороны.
II случай. До начала игры фишки стоят в произвольных вершинах. Отобразим множество вершин данного $2n$-угольника взаимно однозначно на множество вершин некоторого правильного $2n$-угольника таким образом, чтобы фишки оказались в соседних вершинах.
Стратегия второго игрока. Каждым ходом второй игрок ставит свою фишку в вершину данного $2n$-угольника, отвечающую той вершине нового $2n$-угольника, в которую второй игрок поставил бы фишку в случае I.
Ясно, что при такой стратегии второй всегда выигрывает.
Замечание. Авторам неизвестно решение этой задачи для многоугольников с нечетным числом сторон.
