Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3128
2019-05-19 
$n$ игроков играют в следующую игру: имеется $(2n + 1)$ шашек, из них $2k$ черных, остальные белые. Играющие садятся вокруг стола и каждый из них получает по две шашки. По жребию один из игроков берет оставшуюся шашку. Если у него при этом три шашки оказываются одного цвета, то он выиграл, и игра прекращается, если нет, то он оставляет себе шашки одинакового цвета, а третью отдает соседу справа. Если у того окажутся три шашки одинакового цвета, то он выиграл, если нет, то он делает то же, что и первый, и т. д.
Доказать, что при $k$, не равном $n$, игра окончится за конечное число передач шашек (ходов). Найти максимально возможное число ходов в этой игре.
Решение:
Докажем, что при $k = n$ и игра окончится за конечное число ходов. Действительно, после $(n-1)$-го хода у каждого игрока будут по две шашки одного цвета (если игра еще не будет окончена). Ясно также, что каждым ходом, начиная с $n$-го, будет передаваться белая шашка. Но $k \neq n$ Следовательно, у некоторого игрока две белые шашки. Когда этот игрок получит белую шашку, игра окончится.
Найдем максимально возможное число ходов в этой игре. Так как имеется $2k$ черных шашек, то после $(n-1)$-го хода черные шашки будут у $k$ игроков. Следовательно, число ходов в игре не более чем $n + k$. Но после $(n-1)$-го хода у $n$-го игрока имеются две черные шашки (иначе игра была бы окончена за $n-1$ ход). Поэтому число ходов в игре не более, чем $n + k - 1$.
Пусть до начала игры у первых $(k-1)$ игроков черные шашки, у $k$-то игрока белая и черная шашки, от $(k + 1)$-го до $(n-1)$ игрока белые шашки, а у $n$-то игрока черная и белая шашки. В этом случае, как легко видеть, игра окончится после $n + k - 1$ хода.
Ответ: максимально возможное число ходов в игре $n+k-1$.
$n$ игроков играют в следующую игру: имеется $(2n + 1)$ шашек, из них $2k$ черных, остальные белые. Играющие садятся вокруг стола и каждый из них получает по две шашки. По жребию один из игроков берет оставшуюся шашку. Если у него при этом три шашки оказываются одного цвета, то он выиграл, и игра прекращается, если нет, то он оставляет себе шашки одинакового цвета, а третью отдает соседу справа. Если у того окажутся три шашки одинакового цвета, то он выиграл, если нет, то он делает то же, что и первый, и т. д.
Доказать, что при $k$, не равном $n$, игра окончится за конечное число передач шашек (ходов). Найти максимально возможное число ходов в этой игре.
Решение:
Докажем, что при $k = n$ и игра окончится за конечное число ходов. Действительно, после $(n-1)$-го хода у каждого игрока будут по две шашки одного цвета (если игра еще не будет окончена). Ясно также, что каждым ходом, начиная с $n$-го, будет передаваться белая шашка. Но $k \neq n$ Следовательно, у некоторого игрока две белые шашки. Когда этот игрок получит белую шашку, игра окончится.
Найдем максимально возможное число ходов в этой игре. Так как имеется $2k$ черных шашек, то после $(n-1)$-го хода черные шашки будут у $k$ игроков. Следовательно, число ходов в игре не более чем $n + k$. Но после $(n-1)$-го хода у $n$-го игрока имеются две черные шашки (иначе игра была бы окончена за $n-1$ ход). Поэтому число ходов в игре не более, чем $n + k - 1$.
Пусть до начала игры у первых $(k-1)$ игроков черные шашки, у $k$-то игрока белая и черная шашки, от $(k + 1)$-го до $(n-1)$ игрока белые шашки, а у $n$-то игрока черная и белая шашки. В этом случае, как легко видеть, игра окончится после $n + k - 1$ хода.
Ответ: максимально возможное число ходов в игре $n+k-1$.
