Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3125
2019-05-19 
На шахматной доске $8 \times 8$ клеток ставятся две фишки. Два игрока поочередно делают ходы каждый своей фишкой. Фишка первого игрока может при каждом ходе передвигаться лишь на одну клетку по вертикали или горизонтали. Фишка второго - на одну клетку но вертикали или горизонтали либо на одну клетку - по диагонали. Выигрывает тот, кто поставит свою фишку на фишку партнера. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Первый выигрывает лишь в том случае, если в начальном положении фишки стоят рядом по горизонтали жди вертикали. Покажем, что в любом другом случае выигрывает второй. Заметим, что первый каждым своим ходом меняет поля, на котором стоит его фишка. Поэтому если второй своим первым ходом встанет на поле того же цвета, котором очутился первый, и далее будет ходить лишь по горизонтали и вертикали, то перед ходом первого его фишка всегда будет стоять на поле того же цвета, что фишка первого. Следовательно, первый не сможет поставить свою фишку на фишку второго.
Покажем, что второй, двигая свою фишку только до горизонтали или вертикали, сможет нагнать фишку первого и поставить на нее свою фишку.
Сопоставим каждой клетке доски пару натуральных чисел $(p, q)$, где $p$ - номер горизонтали, на которой находится клетка, a $q$ - номер ее вертикали. Пусть фишка первого игрока стоит на клетке $(p_{1}, q_{1})$, а второго - на клетке $(p_{2}, q_{2})$. До начала игры $| p_{1} - p_{2} | \leq n - 1; | q_{1} - q_{2} | \leq n - 1$. Каждым своим ходом первый игрок либо а) увеличивает на единицу одно из чисел $|p_{1} - p_{2}|, |q_{1} - q_{2}|$ (при этом второе число не меняется), либо б) уменьшает на единицу одно из этих чисел (второе число при этом также не меняется).
Стратегия второго игрока. Поскольку первый игрок не может выиграть, то перед ходом второго по крайней мере одно из чисел $|p_{1} - p_{2}|$ и $|q_{1} - q_{2}|$ отлично от нуля. Второй игрок своим ходом уменьшает его на единицу. При такой стратегии второго после каждого обмена ходами в случае а) число $|p_{1} - p_{2}| + | q_{1} - q_{2}|$ остается неизменным, а в случае б) уменьшается на два.
Вследствие конечности доски из любого положения первый игрок за конечное число ходов попадает в положение, когда он не может сделать ход типа а), так как, например,для того чтобы все время увеличивать $| p_{1} - p_{2}|$, он должен уходить от второго по вертикали в одну сторону. Следовательно, за конечное число ходов первый игрок попадет в ситуацию, когда он может сделать лишь ход типа б). А так как в начальном положении $| p_{1} - p_{2}| + |q_{1} - q_{2}| \leq 2(n - 1)$, то после повторения этой ситуации не более $(n - 1)$ раза второй игрок выигрывает.
На шахматной доске $8 \times 8$ клеток ставятся две фишки. Два игрока поочередно делают ходы каждый своей фишкой. Фишка первого игрока может при каждом ходе передвигаться лишь на одну клетку по вертикали или горизонтали. Фишка второго - на одну клетку но вертикали или горизонтали либо на одну клетку - по диагонали. Выигрывает тот, кто поставит свою фишку на фишку партнера. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
Первый выигрывает лишь в том случае, если в начальном положении фишки стоят рядом по горизонтали жди вертикали. Покажем, что в любом другом случае выигрывает второй. Заметим, что первый каждым своим ходом меняет поля, на котором стоит его фишка. Поэтому если второй своим первым ходом встанет на поле того же цвета, котором очутился первый, и далее будет ходить лишь по горизонтали и вертикали, то перед ходом первого его фишка всегда будет стоять на поле того же цвета, что фишка первого. Следовательно, первый не сможет поставить свою фишку на фишку второго.
Покажем, что второй, двигая свою фишку только до горизонтали или вертикали, сможет нагнать фишку первого и поставить на нее свою фишку.
Сопоставим каждой клетке доски пару натуральных чисел $(p, q)$, где $p$ - номер горизонтали, на которой находится клетка, a $q$ - номер ее вертикали. Пусть фишка первого игрока стоит на клетке $(p_{1}, q_{1})$, а второго - на клетке $(p_{2}, q_{2})$. До начала игры $| p_{1} - p_{2} | \leq n - 1; | q_{1} - q_{2} | \leq n - 1$. Каждым своим ходом первый игрок либо а) увеличивает на единицу одно из чисел $|p_{1} - p_{2}|, |q_{1} - q_{2}|$ (при этом второе число не меняется), либо б) уменьшает на единицу одно из этих чисел (второе число при этом также не меняется).
Стратегия второго игрока. Поскольку первый игрок не может выиграть, то перед ходом второго по крайней мере одно из чисел $|p_{1} - p_{2}|$ и $|q_{1} - q_{2}|$ отлично от нуля. Второй игрок своим ходом уменьшает его на единицу. При такой стратегии второго после каждого обмена ходами в случае а) число $|p_{1} - p_{2}| + | q_{1} - q_{2}|$ остается неизменным, а в случае б) уменьшается на два.
Вследствие конечности доски из любого положения первый игрок за конечное число ходов попадает в положение, когда он не может сделать ход типа а), так как, например,для того чтобы все время увеличивать $| p_{1} - p_{2}|$, он должен уходить от второго по вертикали в одну сторону. Следовательно, за конечное число ходов первый игрок попадет в ситуацию, когда он может сделать лишь ход типа б). А так как в начальном положении $| p_{1} - p_{2}| + |q_{1} - q_{2}| \leq 2(n - 1)$, то после повторения этой ситуации не более $(n - 1)$ раза второй игрок выигрывает.
