Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3121
2019-05-19 
Фигуру, вырезанную из листа бумаги, разделили несколькими линиями на 10 частей; Затем ее перевернули на обратную сторону и вновь разделили на 10 частей. Затем окрасили одну из сторон с помощью 10 разных красок (каждую из частей одной краской), с помощью тех же красок аналогично раскрасили и другую сторону. Доказать, что раскраску можно произвести так, чтобы площадь, окрашенная с обеих сторон одинаковой краской, составила не меньше 1/10 площади всей фигуры.
Решение:
Пусть при первом делении фигура разделена на 10 частей $A_{i} ( 1 \leq i \leq 10)$, а при втором делении - на 10 частей $B_{j} (1 \leq j \leq 10)$. Обозначим пересечение областей $A_{i}$ и $B_{j}$ через $A_{ij}$. Будем считать, что часть $A_{i}$ закрашена i-й краской. Количество способов раскрашивания частей $B_{j}$ равно 10!. Занумеруем их числами $k = 1, 2, \cdots , 10!$ и обозначим в каждом способе через $S_{k}$ сумму площадей областей $A_{ij}$ покрашенных с обеих сторон одной краской.
Лемма. $\sum_{k = 1}{10!} S_{k} = 9!$.
Доказательство леммы. Подсчитаем, сколько раз площадь $S_{ij}$ области $A_{ij}$ входит в сумму $\sum_{k =1}^{10!} S_{k}$, то есть сколько $S_{k}$ содержат $S_{ij}$.
Для того чтобы площадь $S_{ij}$ вошла в $S_{k}$, необходимо и достаточно, чтобы при $k$-ом способе раскраски часть $B_{j}$ была закрашена одним определенным цветом - тем же, что, и $A_{i}$. Остальные 9 цветов могут как угодно прийтись на остальные 9 частей; их можно распределить 9! способами. Итак, сумма $\sum_{k =1}^{10!} S_{k}$, выраженная через $S_{ij}$, содержит каждую из этих площадей 9! раз. Имеем поэтому:
$\sum_{k = 1}^{10!} S_{k} = 9! \: \sum_{i,j = 1}^{10} = 9!$
Лемма доказана.
Решение задачи. Так как $\sum_{k = 1}^{10!} S_{k} = 9!$, то найдется число $k_{0}$, такое, что $S_{k_{0} } \geq 9! : 10! =0,1$, что и требовалось доказать.
Фигуру, вырезанную из листа бумаги, разделили несколькими линиями на 10 частей; Затем ее перевернули на обратную сторону и вновь разделили на 10 частей. Затем окрасили одну из сторон с помощью 10 разных красок (каждую из частей одной краской), с помощью тех же красок аналогично раскрасили и другую сторону. Доказать, что раскраску можно произвести так, чтобы площадь, окрашенная с обеих сторон одинаковой краской, составила не меньше 1/10 площади всей фигуры.
Решение:
Пусть при первом делении фигура разделена на 10 частей $A_{i} ( 1 \leq i \leq 10)$, а при втором делении - на 10 частей $B_{j} (1 \leq j \leq 10)$. Обозначим пересечение областей $A_{i}$ и $B_{j}$ через $A_{ij}$. Будем считать, что часть $A_{i}$ закрашена i-й краской. Количество способов раскрашивания частей $B_{j}$ равно 10!. Занумеруем их числами $k = 1, 2, \cdots , 10!$ и обозначим в каждом способе через $S_{k}$ сумму площадей областей $A_{ij}$ покрашенных с обеих сторон одной краской.
Лемма. $\sum_{k = 1}{10!} S_{k} = 9!$.
Доказательство леммы. Подсчитаем, сколько раз площадь $S_{ij}$ области $A_{ij}$ входит в сумму $\sum_{k =1}^{10!} S_{k}$, то есть сколько $S_{k}$ содержат $S_{ij}$.
Для того чтобы площадь $S_{ij}$ вошла в $S_{k}$, необходимо и достаточно, чтобы при $k$-ом способе раскраски часть $B_{j}$ была закрашена одним определенным цветом - тем же, что, и $A_{i}$. Остальные 9 цветов могут как угодно прийтись на остальные 9 частей; их можно распределить 9! способами. Итак, сумма $\sum_{k =1}^{10!} S_{k}$, выраженная через $S_{ij}$, содержит каждую из этих площадей 9! раз. Имеем поэтому:
$\sum_{k = 1}^{10!} S_{k} = 9! \: \sum_{i,j = 1}^{10} = 9!$
Лемма доказана.
Решение задачи. Так как $\sum_{k = 1}^{10!} S_{k} = 9!$, то найдется число $k_{0}$, такое, что $S_{k_{0} } \geq 9! : 10! =0,1$, что и требовалось доказать.
