Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3119
2019-05-19 
Плоскость разбивается на многоугольники, каждый из которых окрашивается в один из трех цветов. Доказать, что при этом найдутся по крайней мере две точки, расстояние между которыми равно 1 и принадлежащие многоугольникам одного цвета. Если взять количество цветов, равное 7, то существуют такое разбиение плоскости и такая раскраска, что любые две точки, находящиеся на расстоянии 1, окрашены в разные цвета.
Решение:
Возьмем произвольную точку О плоскости; будем считать, что она окрашена в первый цвет. Проведем из точки О как из центра две концентрические окружности, радиусы которых $r = 1$ и $R = \sqrt{3}$ соответственно. Если хотя бы одна из точек окружности радиуса 1 окрашена в первый цвет, то утверждение доказано. Будем считать поэтому, что любая точка этой окружности окрашена либо во второй, либо в третий цвет.
Рассмотрим произвольную точку А окружности радиуса $\sqrt{3}$. На окружности радиуса 1 есть две точки, удаленные от А на расстояние 1. Расстояние между этими точками также равно единице. Поэтому, если эти две точки окрашены в один цвет, то утверждение доказано. Значит, можно считать, что одна из этих точек - второго, а другая - третьего цвета. Но тогда точка А окрашена в первый цвет.
Итак, произвольная точка окружности радиуса $R = \sqrt{3}$ окрашена в первый цвет. Утверждение доказано.
При числе цветов, равном 7, достаточно разбить плоскость на правильные шестиугольники со стороной $a$ ( $\frac{1}{2} > a > \frac{1}{ \sqrt{7} }$) и раскрасить их так, как показано на рис.
Плоскость разбивается на многоугольники, каждый из которых окрашивается в один из трех цветов. Доказать, что при этом найдутся по крайней мере две точки, расстояние между которыми равно 1 и принадлежащие многоугольникам одного цвета. Если взять количество цветов, равное 7, то существуют такое разбиение плоскости и такая раскраска, что любые две точки, находящиеся на расстоянии 1, окрашены в разные цвета.
Решение:
Возьмем произвольную точку О плоскости; будем считать, что она окрашена в первый цвет. Проведем из точки О как из центра две концентрические окружности, радиусы которых $r = 1$ и $R = \sqrt{3}$ соответственно. Если хотя бы одна из точек окружности радиуса 1 окрашена в первый цвет, то утверждение доказано. Будем считать поэтому, что любая точка этой окружности окрашена либо во второй, либо в третий цвет.
Рассмотрим произвольную точку А окружности радиуса $\sqrt{3}$. На окружности радиуса 1 есть две точки, удаленные от А на расстояние 1. Расстояние между этими точками также равно единице. Поэтому, если эти две точки окрашены в один цвет, то утверждение доказано. Значит, можно считать, что одна из этих точек - второго, а другая - третьего цвета. Но тогда точка А окрашена в первый цвет.
Итак, произвольная точка окружности радиуса $R = \sqrt{3}$ окрашена в первый цвет. Утверждение доказано.
При числе цветов, равном 7, достаточно разбить плоскость на правильные шестиугольники со стороной $a$ ( $\frac{1}{2} > a > \frac{1}{ \sqrt{7} }$) и раскрасить их так, как показано на рис.
