Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3118
2019-05-19 
На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать правильный $m$-угольник ($m > 12$)?
Решение:
Во-первых, отметим, что $m$-угольник нельзя разбить менее, чем на $(m-2)$ треугольника. Действительно, сумма внутренних углов $m$-угольника равна $(m - 2) \pi$; следовательно, сумма углов треугольников не менее $(m-2) \pi$; отсюда вытекает наше утверждение; более того, $m-2$ треугольника может быть лишь в том случае, если вершинами таких треугольников являются только вершины $m$-угольника, а сторонами-стороны и диагонали $m$-угольника. Поскольку же мы рассматриваем правильные многоугольники, то найдется такой треугольник, у которого центр описанной окружности лежит внутри или на стороне. Такой треугольник будет соответственно остроугольным или прямоугольным.
Из сказанного следует, что правильный многоугольник разбивается не менее, чем на $m-1$ тупоугольный треугольник. Покажем, что при $m>12$ такое разбиение на $m-1$ тупоугольный треугольник возможно.
Доказательство проведем отдельно для многоугольников с четным и нечетным числом сторон.
Пусть $m = 2n$. Занумеруем последовательно вершины и рассмотрим трапецию с вершинами $1, 3, n$ и $n+2$. Остальную часть $2n$-угольника, очевидно, диагоналями можно разбить на тупоугольные треугольники. Рассмотрим разбиение трапеции на три треугольника отрезками из середины верхнего основания в вершины нижнего основания (рис.). Треугольники, примыкающие к боковым сторонам трапеции, очевидно, тупоугольные, а оставшийся треугольник будет тупоугольным, если его высота меньше половины основания. Но в этой трапеции диагональ равна нижнему основанию, поэтому высота будет более чем вдвое меньше диагонали, а следовательно, и основания, если угол между нижним основанием и диагональю меньше $30^{ \circ}$. Этот угол измеряется половиной дуги описанной вокруг многоугольника окружности, которая, по построению, равна $360^{ \circ}: n$. Отсюда следует наше утверждение.
При нечетном $m = 2n + 1$ аналогичная трапеция изображена на рис. Все рассуждения полностью повторяются, за исключением вычисления дуги окружности, которая в этом случае равна $360^{ \circ}: (2n+1)$. Следовательно, для многоугольников с нечетным числом сторон утверждение задачи верно, начиная с $m=7$.
На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать правильный $m$-угольник ($m > 12$)?
Решение:
Во-первых, отметим, что $m$-угольник нельзя разбить менее, чем на $(m-2)$ треугольника. Действительно, сумма внутренних углов $m$-угольника равна $(m - 2) \pi$; следовательно, сумма углов треугольников не менее $(m-2) \pi$; отсюда вытекает наше утверждение; более того, $m-2$ треугольника может быть лишь в том случае, если вершинами таких треугольников являются только вершины $m$-угольника, а сторонами-стороны и диагонали $m$-угольника. Поскольку же мы рассматриваем правильные многоугольники, то найдется такой треугольник, у которого центр описанной окружности лежит внутри или на стороне. Такой треугольник будет соответственно остроугольным или прямоугольным.
Из сказанного следует, что правильный многоугольник разбивается не менее, чем на $m-1$ тупоугольный треугольник. Покажем, что при $m>12$ такое разбиение на $m-1$ тупоугольный треугольник возможно.
Доказательство проведем отдельно для многоугольников с четным и нечетным числом сторон.
Пусть $m = 2n$. Занумеруем последовательно вершины и рассмотрим трапецию с вершинами $1, 3, n$ и $n+2$. Остальную часть $2n$-угольника, очевидно, диагоналями можно разбить на тупоугольные треугольники. Рассмотрим разбиение трапеции на три треугольника отрезками из середины верхнего основания в вершины нижнего основания (рис.). Треугольники, примыкающие к боковым сторонам трапеции, очевидно, тупоугольные, а оставшийся треугольник будет тупоугольным, если его высота меньше половины основания. Но в этой трапеции диагональ равна нижнему основанию, поэтому высота будет более чем вдвое меньше диагонали, а следовательно, и основания, если угол между нижним основанием и диагональю меньше $30^{ \circ}$. Этот угол измеряется половиной дуги описанной вокруг многоугольника окружности, которая, по построению, равна $360^{ \circ}: n$. Отсюда следует наше утверждение.
При нечетном $m = 2n + 1$ аналогичная трапеция изображена на рис. Все рассуждения полностью повторяются, за исключением вычисления дуги окружности, которая в этом случае равна $360^{ \circ}: (2n+1)$. Следовательно, для многоугольников с нечетным числом сторон утверждение задачи верно, начиная с $m=7$.
