Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3117
2019-05-19 
На какое наименьшее число остроугольных треугольников можно разрезать тупоугольный треугольник?
Решение:
Любой тупоугольный треугольник можно разрезать на семь остроугольных треугольников. Докажем это.
Пусть С - тупой угол треугольника АВС. Впишем в треугольник АВС окружность О. Проведем к окружность О касательную DE, такую, что точка D принадлежит отрезку АС, точка Е - отрезку АВ и |AD|=|AE|. Проведем также касательную FH, такую, что точка F принадлежит стороне АВ, точка Н - стороне ВС и |BF|=|BH|. Соединим центр О окружности с точками С, D, Е, F и Н. Докажем, что все семь треугольников, на которые проведенные отрезки разбивают треугольник АВС, остроугольные.
Очевидно, достаточно доказать, что остроугольными являются треугольники с вершиной О. Рассмотрим, например треугольник OCD. Так как СО - биссектриса угла $\angle DCH$, то угол $\angle DCO$ острый. Аналогично, угол $\angle CDO$ острый (DO - биссектриса угла $\angle CDE$). Но углы АСВ и СDE - тупые. Следовательно, $\angle DCO > \frac{ \pi}{4}, \angle CDO > \frac{ \pi}{4}$. Поэтому $\angle COD < \frac{ \pi}{2}$. Аналогично доказывается, что все остальные треугольники с вершиной О также являются остроугольными.
Докажем, что никакой тупоугольный треугольник нельзя разрезать менее чем на семь остроугольных треугольников. Предположим противное. Рассмотрим минимальное число $n < 7$, такое, что некоторый тупоугольный треугольник можно разрезать на $n$ остроугольных треугольников. Очевидно, некоторый отрезок выходит из вершины С тупого угла этого треугольника. Ясно, что этот отрезок не доходит до стороны АВ (в противном случае некоторый тупоугольный треугольник можно было бы разрезать менее чем на $n$ остроугольных треугольников).
Рассмотрим лучи, выходящие из конца О этого отрезка. Так как углы между соседними лучами острые, то этих лучей не менее пяти. Каждый из них проведен до некоторой стороны треугольника АВС. Действительно, если бы некоторая внутренняя точка одного из этих лучей была вершиной остроугольного треугольника, то из этой точки выходило бы не менее пята отрезков (см. выше) и общее число остроугольных треугольников было бы не менее восьми. Кроме этого, к каждой стороне треугольника АВС подходит не более двух отрезков, выходящих из точки О. Иначе, рассуждая, как и выше, мы получили бы, что некоторый тупоугольный треугольник можно разрезать менее чем на $n$ остроугольных треугольников.
Отсюда сразу следует, что ни один из отрезков, выходящих из точки О, не оканчивается ни в вершине А, ни в вершине В треугольника АВС.
Значит, точки А и В принадлежат некоторым другим остроугольным треугольникам (не имеющим вершины в точке О). Так как, очевидно, вершины А и В принадлежат различным остроугольным треугольникам, то общее число остроугольных треугольников, на которые можно разрезать данный тупоугольный треугольник, не менее семи.
На какое наименьшее число остроугольных треугольников можно разрезать тупоугольный треугольник?
Решение:
Любой тупоугольный треугольник можно разрезать на семь остроугольных треугольников. Докажем это.
Пусть С - тупой угол треугольника АВС. Впишем в треугольник АВС окружность О. Проведем к окружность О касательную DE, такую, что точка D принадлежит отрезку АС, точка Е - отрезку АВ и |AD|=|AE|. Проведем также касательную FH, такую, что точка F принадлежит стороне АВ, точка Н - стороне ВС и |BF|=|BH|. Соединим центр О окружности с точками С, D, Е, F и Н. Докажем, что все семь треугольников, на которые проведенные отрезки разбивают треугольник АВС, остроугольные.
Очевидно, достаточно доказать, что остроугольными являются треугольники с вершиной О. Рассмотрим, например треугольник OCD. Так как СО - биссектриса угла $\angle DCH$, то угол $\angle DCO$ острый. Аналогично, угол $\angle CDO$ острый (DO - биссектриса угла $\angle CDE$). Но углы АСВ и СDE - тупые. Следовательно, $\angle DCO > \frac{ \pi}{4}, \angle CDO > \frac{ \pi}{4}$. Поэтому $\angle COD < \frac{ \pi}{2}$. Аналогично доказывается, что все остальные треугольники с вершиной О также являются остроугольными.
Докажем, что никакой тупоугольный треугольник нельзя разрезать менее чем на семь остроугольных треугольников. Предположим противное. Рассмотрим минимальное число $n < 7$, такое, что некоторый тупоугольный треугольник можно разрезать на $n$ остроугольных треугольников. Очевидно, некоторый отрезок выходит из вершины С тупого угла этого треугольника. Ясно, что этот отрезок не доходит до стороны АВ (в противном случае некоторый тупоугольный треугольник можно было бы разрезать менее чем на $n$ остроугольных треугольников).
Рассмотрим лучи, выходящие из конца О этого отрезка. Так как углы между соседними лучами острые, то этих лучей не менее пяти. Каждый из них проведен до некоторой стороны треугольника АВС. Действительно, если бы некоторая внутренняя точка одного из этих лучей была вершиной остроугольного треугольника, то из этой точки выходило бы не менее пята отрезков (см. выше) и общее число остроугольных треугольников было бы не менее восьми. Кроме этого, к каждой стороне треугольника АВС подходит не более двух отрезков, выходящих из точки О. Иначе, рассуждая, как и выше, мы получили бы, что некоторый тупоугольный треугольник можно разрезать менее чем на $n$ остроугольных треугольников.
Отсюда сразу следует, что ни один из отрезков, выходящих из точки О, не оканчивается ни в вершине А, ни в вершине В треугольника АВС.
Значит, точки А и В принадлежат некоторым другим остроугольным треугольникам (не имеющим вершины в точке О). Так как, очевидно, вершины А и В принадлежат различным остроугольным треугольникам, то общее число остроугольных треугольников, на которые можно разрезать данный тупоугольный треугольник, не менее семи.
