Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3115
2019-05-19 
В основании четырехгранной пирамиды - ромб с углом $60^{ \circ}$ при вершине А. Боковое ребро, выходящее из вершины А, равно стороне ромба. Доказать, что из остальных боковых ребер можно составить прямоугольный треугольник.
Решение:
Соединим вершину пирамиды S с точкой Е пересечения диагоналей ромба, лежащего в основании пирамиды. Воспользуемся выражением медианы треугольника через его стороны. Из треугольника BSD получим:
$| SE |^{2} = \frac{1}{4} (2|BS|^{2} + 2|SD|^{2} - | BD |^{2})$. Из треугольника ASC получим: $|SE|^{2} = \frac{1}{4}(2|AS|^{2} + 2|SC|^{2} - | AC|^{2})$. Но $| BD | = a. | AS | = a, |AC| = a \sqrt{3}$. Поэтому, приравнивая два различных выражения для $| SE |^{2}$, получаем: $|SC|^{2} = |BS|^{2} + |SD|^{2}$. Отсюда по теореме, обратной теореме Пифагора, следует доказываемое утверждение.
В основании четырехгранной пирамиды - ромб с углом $60^{ \circ}$ при вершине А. Боковое ребро, выходящее из вершины А, равно стороне ромба. Доказать, что из остальных боковых ребер можно составить прямоугольный треугольник.
Решение:
Соединим вершину пирамиды S с точкой Е пересечения диагоналей ромба, лежащего в основании пирамиды. Воспользуемся выражением медианы треугольника через его стороны. Из треугольника BSD получим:
$| SE |^{2} = \frac{1}{4} (2|BS|^{2} + 2|SD|^{2} - | BD |^{2})$. Из треугольника ASC получим: $|SE|^{2} = \frac{1}{4}(2|AS|^{2} + 2|SC|^{2} - | AC|^{2})$. Но $| BD | = a. | AS | = a, |AC| = a \sqrt{3}$. Поэтому, приравнивая два различных выражения для $| SE |^{2}$, получаем: $|SC|^{2} = |BS|^{2} + |SD|^{2}$. Отсюда по теореме, обратной теореме Пифагора, следует доказываемое утверждение.
