Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3114
2019-05-19 
Для треугольной пирамиды определяются три числа: $R_{0}$ - радиус описанного шара, $R_{b}$ - радиус наименьшего шара, вмещающего в себя эту пирамиду, и $R_{n}$ - наименьшее из чисел $R$ таких, что шары радиуса $R$ с центрами в вершинах пирамиды в сумме полностью nov крывают пирамиду. Доказать, что если какие-либо два из чисел $R_{0}, R_{b}$ и $R_{n}$ равны, то равны все три.
Решение:
Лемма. Пусть пирамида ABCD заключена внутри шара радиуса $R$ с центром О. Тогда для любой точки Е пирамиды, отличной от О, длина хотя бы одного из отрезков ЕА, ЕВ, ЕС, ED меньше $R$.
Доказательство. Точка Е принадлежит одной из пирамид ОABC, OABD, OACD, OBCD. Пусть, например, точка Е принадлежит пирамиде ОАВС, Покажем, что длина хотя бы одного из отрезков ЕА, ЕВ, ЕС меньше $R$, Для этого рассмотрим прямую, проходящую через точку Е перпендикулярно плоскости грани АВС. Обозначим точку пересечения этой прямой с плоскостью грани АВС через H. Очевидно, хотя бы одна из граней ОАВ, ОАС, ОВС пересекается с прямой ЕН в точке F такой, что $|FH| \geq |EH|$. Будем считать, что точка F принадлежит грани ОАВ.
Пусть точки Е и F совпадают. Тогда точки F и О различны. Имеем: точка Е лежит внутри треугольника ОАВ. Поэтому длина хотя бы одного из отрезков ЕА и ЕВ меньше одной из длин сторон ОА и ОВ треугольника ОАВ. Но $|OA| \leq R, |OB| \leq R$.
Пусть точки Е и F не совпадают. Тогда $| EA | \leq |FA|, |EB| < |FB|$. Но, как и выше, доказывается, что $| FA |$ либо $| FB |$ меньше или равно $R$.
Лемма доказана.
Перейдем к доказательству утверждения задачи. Возможны два случая.
I случай. Центр описанного шара О лежит внутри треугольной пирамиды либо на ее грани.
Докажем, что в этом случае $R_{0} = R_{B} = R_{n}$. Очевидно, всегда $R_{0} \geq R_{B}$. Если $R_{0} > R_{B}$, то треугольную пирамиду можно сдвинуть так, что она останется внутри описанного шара. Но в случае I всякая плоскость, проведенная через центр описанного шара, имеет с пирамидой общие точки. Значит, в любом из двух полушарий, на которые эта плоскость делит описанный шар, найдутся вершины пирамиды (быть может, лежащие в этой плоскости). Отсюда следует, что при любом сдвиге хотя бы одна точка пирамиды окажется вне описанного шара. Значит, $R_{0} = R_{B}$.
Из леммы следует, что $R_{0} \geq R_{n}$. Но при $R < R_{0}$ шары радиуса $R$, помещенные в вершинах пирамиды, не покрывают точку О. Но в случае I центр описанного шара О принадлежит пирамиде. Поэтому $R_{0} = R_{n}$.
II случай. Центр описанного шара О лежит вне пирамиды.
В этом случае, очевидно, $R_{0} > R_{B}$. Поместим пирамиду ABCD в шар радиуса $R_{B}$. Так как то можно считать, что точка А лежит внутри этого шара. Значит, $|O_{A}A | < R_{B}$($O_{1}$ - центр шара радиуса $R_{B}$). Применяя лемму, получаем отсюда, что для любой точки Е пирамиды длина хотя бы одного из отрезков ЕА, ЕВ, ЕС, ED меньше $R_{B}$. Следовательно, $R_{n} < R_{B}$.
Для треугольной пирамиды определяются три числа: $R_{0}$ - радиус описанного шара, $R_{b}$ - радиус наименьшего шара, вмещающего в себя эту пирамиду, и $R_{n}$ - наименьшее из чисел $R$ таких, что шары радиуса $R$ с центрами в вершинах пирамиды в сумме полностью nov крывают пирамиду. Доказать, что если какие-либо два из чисел $R_{0}, R_{b}$ и $R_{n}$ равны, то равны все три.
Решение:
Лемма. Пусть пирамида ABCD заключена внутри шара радиуса $R$ с центром О. Тогда для любой точки Е пирамиды, отличной от О, длина хотя бы одного из отрезков ЕА, ЕВ, ЕС, ED меньше $R$.
Доказательство. Точка Е принадлежит одной из пирамид ОABC, OABD, OACD, OBCD. Пусть, например, точка Е принадлежит пирамиде ОАВС, Покажем, что длина хотя бы одного из отрезков ЕА, ЕВ, ЕС меньше $R$, Для этого рассмотрим прямую, проходящую через точку Е перпендикулярно плоскости грани АВС. Обозначим точку пересечения этой прямой с плоскостью грани АВС через H. Очевидно, хотя бы одна из граней ОАВ, ОАС, ОВС пересекается с прямой ЕН в точке F такой, что $|FH| \geq |EH|$. Будем считать, что точка F принадлежит грани ОАВ.
Пусть точки Е и F совпадают. Тогда точки F и О различны. Имеем: точка Е лежит внутри треугольника ОАВ. Поэтому длина хотя бы одного из отрезков ЕА и ЕВ меньше одной из длин сторон ОА и ОВ треугольника ОАВ. Но $|OA| \leq R, |OB| \leq R$.
Пусть точки Е и F не совпадают. Тогда $| EA | \leq |FA|, |EB| < |FB|$. Но, как и выше, доказывается, что $| FA |$ либо $| FB |$ меньше или равно $R$.
Лемма доказана.
Перейдем к доказательству утверждения задачи. Возможны два случая.
I случай. Центр описанного шара О лежит внутри треугольной пирамиды либо на ее грани.
Докажем, что в этом случае $R_{0} = R_{B} = R_{n}$. Очевидно, всегда $R_{0} \geq R_{B}$. Если $R_{0} > R_{B}$, то треугольную пирамиду можно сдвинуть так, что она останется внутри описанного шара. Но в случае I всякая плоскость, проведенная через центр описанного шара, имеет с пирамидой общие точки. Значит, в любом из двух полушарий, на которые эта плоскость делит описанный шар, найдутся вершины пирамиды (быть может, лежащие в этой плоскости). Отсюда следует, что при любом сдвиге хотя бы одна точка пирамиды окажется вне описанного шара. Значит, $R_{0} = R_{B}$.
Из леммы следует, что $R_{0} \geq R_{n}$. Но при $R < R_{0}$ шары радиуса $R$, помещенные в вершинах пирамиды, не покрывают точку О. Но в случае I центр описанного шара О принадлежит пирамиде. Поэтому $R_{0} = R_{n}$.
II случай. Центр описанного шара О лежит вне пирамиды.
В этом случае, очевидно, $R_{0} > R_{B}$. Поместим пирамиду ABCD в шар радиуса $R_{B}$. Так как то можно считать, что точка А лежит внутри этого шара. Значит, $|O_{A}A | < R_{B}$($O_{1}$ - центр шара радиуса $R_{B}$). Применяя лемму, получаем отсюда, что для любой точки Е пирамиды длина хотя бы одного из отрезков ЕА, ЕВ, ЕС, ED меньше $R_{B}$. Следовательно, $R_{n} < R_{B}$.
