Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3113
2019-05-19 
Для треугольника определим три числа: $R_{0}$ - радиус описанного круга, $R_{b}$ - радиус наименьшего круга, вмещающего в себя этот треугольник, и $R_{n}$ - наименьшее из чисел $R$ таких, что круги радиуса $R$ с центрами в вершинах треугольника в сумме полностью его покрывают. Доказать, что если какие-либо два из чисел $R_{0}, R_{b}$ и $R_{n}$ равны, то равны все три.
Решение:
Возможны два случая.
I случай. Треугольник АВС не является тупоугольным.
В этом случае легко видеть, что $R_{0} = R_{B}$. Покажем, что $R_{0} = R_{n}$. Ясно, что круги радиуса $R_{0}$, помещенные в вершинах треугольника, полностью его покрывают. Поэтому $R_{0} \geq R_{n}$. Но круги радиуса $R < R_{0}$, помещенные в вершинах треугольника, не покрывают центр О описанной окружности. Так как в случае I точка О лежит внутри треугольника либо на его границе, то $R_{0} = R_{n}$.
II случай. Треугольник АВС является тупоугольным.
Пусть С - тупой угол. Очевидно, $R_{B} = \frac{c}{2} < R_{0}$.
Поместим в вершинах треугольника круги радиуса $R_{B}$. Ясно, что эти круги полностью покрывают треугольник. Кроме этого, точка пересечения D окружности радиуса $R_{B}$ с центром в точке А с отрезком АВ находится внутри круга радиуса $R_{B}$, помещенного в вершине С. То же верно для точки $D^{I}$ пересечения окружности радиуса $R_{B}$, с центром в точке В с отрезком АВ (точки $D$ и $D^{I}$, очевидно, совпадают). Поэтому найдется такое число $R < R_{B}$, что круги радиуса $R$, помещенные в вершинах треугольника, полностью его покрывают.
Следовательно, $R_{n} < R_{B}$.
Предложение доказано.
Для треугольника определим три числа: $R_{0}$ - радиус описанного круга, $R_{b}$ - радиус наименьшего круга, вмещающего в себя этот треугольник, и $R_{n}$ - наименьшее из чисел $R$ таких, что круги радиуса $R$ с центрами в вершинах треугольника в сумме полностью его покрывают. Доказать, что если какие-либо два из чисел $R_{0}, R_{b}$ и $R_{n}$ равны, то равны все три.
Решение:
Возможны два случая.
I случай. Треугольник АВС не является тупоугольным.
В этом случае легко видеть, что $R_{0} = R_{B}$. Покажем, что $R_{0} = R_{n}$. Ясно, что круги радиуса $R_{0}$, помещенные в вершинах треугольника, полностью его покрывают. Поэтому $R_{0} \geq R_{n}$. Но круги радиуса $R < R_{0}$, помещенные в вершинах треугольника, не покрывают центр О описанной окружности. Так как в случае I точка О лежит внутри треугольника либо на его границе, то $R_{0} = R_{n}$.
II случай. Треугольник АВС является тупоугольным.
Пусть С - тупой угол. Очевидно, $R_{B} = \frac{c}{2} < R_{0}$.
Поместим в вершинах треугольника круги радиуса $R_{B}$. Ясно, что эти круги полностью покрывают треугольник. Кроме этого, точка пересечения D окружности радиуса $R_{B}$ с центром в точке А с отрезком АВ находится внутри круга радиуса $R_{B}$, помещенного в вершине С. То же верно для точки $D^{I}$ пересечения окружности радиуса $R_{B}$, с центром в точке В с отрезком АВ (точки $D$ и $D^{I}$, очевидно, совпадают). Поэтому найдется такое число $R < R_{B}$, что круги радиуса $R$, помещенные в вершинах треугольника, полностью его покрывают.
Следовательно, $R_{n} < R_{B}$.
Предложение доказано.
