Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3112
2019-05-19 
Каждая хорда, делящая площадь выпуклой плоской фигуры пополам, имеет длину, не превосходящую 1. Доказать, что площадь этой фигуры не превосходит $2 \pi$.
Решение:
Возьмем некоторую точку М на границе фигуры Ф. Поскольку фигура выпукла, то можно провести через точку М прямую так, что фигура будет лежать по одну сторону от этой прямой. Покажем, что расстояние любой точки фигуры Ф до точки М не превосходит 2. Это вытекает из рассмотрения следующих утверждений.
1. Через любую точку фигуры Ф можно провести хорду, делящую ее площадь пополам.
2. Любые две хорды, делящие пополам площадь фигуры, пересекаются внутри этой фигуры.
Первое утверждение считается известным, его доказательство содержится в книге И. М. Яглома и В. Г. Болтянского «Выпуклые фигуры».
Второе утверждение доказывается следующим образом: пусть две хорды, делящие площадь фигуры пополам, не пересекаются внутри фигуры, тогда опи разбивают ее на три части, две из которых имеют площади, равные по половине площади фигуры Ф, а третья, лежащая между этими хордами, следовательно, имеет площадь, равную нулю, что невозможно.
Пусть теперь N произвольная точка фигуры Ф; проведем через нее хорду, делящую площадь пополам, Пусть далее О - точка пересечения этой хорды с соответствующей хордой, проведенной из точки М. Тогда $| MO | \leq 1, |ON| \leq 1$, следовательно, $|MN| \leq | OM | + | ON | \leq 2$.
Таким образом, фигура Ф заключена внутри полукруга радиуса 2 с центром в точке М, следовательно, площадь фигуры Ф не превосходит $\frac{1}{2} \pi \cdot 2^{2} = 2 \pi$.
(Имеет место более точная оценка: $\frac{ \pi}{4}$.)
Каждая хорда, делящая площадь выпуклой плоской фигуры пополам, имеет длину, не превосходящую 1. Доказать, что площадь этой фигуры не превосходит $2 \pi$.
Решение:
Возьмем некоторую точку М на границе фигуры Ф. Поскольку фигура выпукла, то можно провести через точку М прямую так, что фигура будет лежать по одну сторону от этой прямой. Покажем, что расстояние любой точки фигуры Ф до точки М не превосходит 2. Это вытекает из рассмотрения следующих утверждений.
1. Через любую точку фигуры Ф можно провести хорду, делящую ее площадь пополам.
2. Любые две хорды, делящие пополам площадь фигуры, пересекаются внутри этой фигуры.
Первое утверждение считается известным, его доказательство содержится в книге И. М. Яглома и В. Г. Болтянского «Выпуклые фигуры».
Второе утверждение доказывается следующим образом: пусть две хорды, делящие площадь фигуры пополам, не пересекаются внутри фигуры, тогда опи разбивают ее на три части, две из которых имеют площади, равные по половине площади фигуры Ф, а третья, лежащая между этими хордами, следовательно, имеет площадь, равную нулю, что невозможно.
Пусть теперь N произвольная точка фигуры Ф; проведем через нее хорду, делящую площадь пополам, Пусть далее О - точка пересечения этой хорды с соответствующей хордой, проведенной из точки М. Тогда $| MO | \leq 1, |ON| \leq 1$, следовательно, $|MN| \leq | OM | + | ON | \leq 2$.
Таким образом, фигура Ф заключена внутри полукруга радиуса 2 с центром в точке М, следовательно, площадь фигуры Ф не превосходит $\frac{1}{2} \pi \cdot 2^{2} = 2 \pi$.
(Имеет место более точная оценка: $\frac{ \pi}{4}$.)
