Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3111
2019-05-19 
Доказать, что если в треугольнике перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис к сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник - равнобедренный.
Решение:
Обозначения: D, E, F - основания биссектрис углов А, В, С соответственно; О-точка пересечения перпендикуляров, восставленных к сторонам треугольника из основании биссектрис; $| AE | = x, | CD | = y, | BF | = z$.
Нетрудно заметить, что $x^{2} + y^{2} + z^{2} = (a - x)^{2} + (c - y)^{2} + (b - z)^{2}$. Выражая отрезки $x, y, z$ через стороны треугольника, приводим это равенство к виду:
$\left ( \frac{ab}{b + c} \right )^{2} + \left ( \frac{bc}{c + a} \right )^{2} + \left ( \frac{ca}{a + b} \right )^{2} = \left ( \frac{ca}{b + c} \right )^{2} + \left ( \frac{ab}{c + a} \right )^{2} + \left ( \frac{bc}{a + b} \right )^{2}$
Отсюда $\frac{a^{2}(b - c) }{b + c} + \frac{b^{2}(c - a) }{c + a} + \frac{c^{2}(a - b) }{a + b} = 0 $.
Приведем левую часть этого равенства к общему знаменателю и разложим полученное выражение на множители. Получим (см. решение задачи 26), что $(b - c)(c - a)(a - b)(a + b + c)^{2} = 0$. Отсюда сразу следует доказываемое утверждение.
Доказать, что если в треугольнике перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис к сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник - равнобедренный.
Решение:
Обозначения: D, E, F - основания биссектрис углов А, В, С соответственно; О-точка пересечения перпендикуляров, восставленных к сторонам треугольника из основании биссектрис; $| AE | = x, | CD | = y, | BF | = z$.
Нетрудно заметить, что $x^{2} + y^{2} + z^{2} = (a - x)^{2} + (c - y)^{2} + (b - z)^{2}$. Выражая отрезки $x, y, z$ через стороны треугольника, приводим это равенство к виду:
$\left ( \frac{ab}{b + c} \right )^{2} + \left ( \frac{bc}{c + a} \right )^{2} + \left ( \frac{ca}{a + b} \right )^{2} = \left ( \frac{ca}{b + c} \right )^{2} + \left ( \frac{ab}{c + a} \right )^{2} + \left ( \frac{bc}{a + b} \right )^{2}$
Отсюда $\frac{a^{2}(b - c) }{b + c} + \frac{b^{2}(c - a) }{c + a} + \frac{c^{2}(a - b) }{a + b} = 0 $.
Приведем левую часть этого равенства к общему знаменателю и разложим полученное выражение на множители. Получим (см. решение задачи 26), что $(b - c)(c - a)(a - b)(a + b + c)^{2} = 0$. Отсюда сразу следует доказываемое утверждение.
