Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3110
2019-05-19 
Точки касания вписанной в треугольник окружности соединяются отрезками с противоположными вершинами. Доказать, что указанные отрезки пересекаются и одной точке.
Решение:
Пусть $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$ - точки касания вписанной окружности со сторонами ВС и АС треугольника, Е - точка пересечения отрезков $AA^{ \prime}$ и $BB^{ \prime}, D$ - точка пересечения прямых АВ и СЕ. Заметим, что
$\frac{ | A^{ \prime}C|}{ |A^{ \prime}B |} = \frac{S_{ACE} }{S_{ABE} }$, а $\frac{ | B^{ \prime}A|}{ |B^{ \prime}C |} = \frac{S_{ABE} }{S_{BCE} }$; отсюда получаем:
$\frac{ | A^{ \prime}C|}{ |A^{ \prime}B |} \cdot \frac{|B^{ \prime} A |}{| B^{ \prime }C |} = \frac{S_{ACE} }{S_{ABE} } \cdot \frac{S_{ABE} }{S_{BCE} }$. Но, по условию, $|A^{ \prime}C| = |B^{ \prime}C |$. Следовательно, $\frac{ | B^{ \prime}A|}{ |A^{ \prime}B |} = \frac{S_{ACE} }{S_{BCE} }$. Заметим, что и отношение $\frac{|DB|}{|DA|}$ также равно отношению этих площадей, Поэтому $|B^{ \prime}A | + |A^{ \prime}B | = |DB| : |DA|$. Но если $C^{ \prime}$ - точка касания стороны АВ со вписанной окружностью, то $| AC^{ \prime} | = | AB^{ \prime}|$ и $| BC^{ \prime} | = | BA^{ \prime} |$, тем более, $| AC^{ \prime} | : | BC^{ \prime} | = | B^{ \prime}A |: | A^{ \prime}B |$. Следовательно, точки $D$ и $C^{ \prime}$ делят отрезок АВ в одном и том же отношении, а значит, совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
Точки касания вписанной в треугольник окружности соединяются отрезками с противоположными вершинами. Доказать, что указанные отрезки пересекаются и одной точке.
Решение:
Пусть $A^{ \prime}$ и $B^{ \prime}$ - точки касания вписанной окружности со сторонами ВС и АС треугольника, Е - точка пересечения отрезков $AA^{ \prime}$ и $BB^{ \prime}, D$ - точка пересечения прямых АВ и СЕ. Заметим, что
$\frac{ | A^{ \prime}C|}{ |A^{ \prime}B |} = \frac{S_{ACE} }{S_{ABE} }$, а $\frac{ | B^{ \prime}A|}{ |B^{ \prime}C |} = \frac{S_{ABE} }{S_{BCE} }$; отсюда получаем:
$\frac{ | A^{ \prime}C|}{ |A^{ \prime}B |} \cdot \frac{|B^{ \prime} A |}{| B^{ \prime }C |} = \frac{S_{ACE} }{S_{ABE} } \cdot \frac{S_{ABE} }{S_{BCE} }$. Но, по условию, $|A^{ \prime}C| = |B^{ \prime}C |$. Следовательно, $\frac{ | B^{ \prime}A|}{ |A^{ \prime}B |} = \frac{S_{ACE} }{S_{BCE} }$. Заметим, что и отношение $\frac{|DB|}{|DA|}$ также равно отношению этих площадей, Поэтому $|B^{ \prime}A | + |A^{ \prime}B | = |DB| : |DA|$. Но если $C^{ \prime}$ - точка касания стороны АВ со вписанной окружностью, то $| AC^{ \prime} | = | AB^{ \prime}|$ и $| BC^{ \prime} | = | BA^{ \prime} |$, тем более, $| AC^{ \prime} | : | BC^{ \prime} | = | B^{ \prime}A |: | A^{ \prime}B |$. Следовательно, точки $D$ и $C^{ \prime}$ делят отрезок АВ в одном и том же отношении, а значит, совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
