Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3109
2019-05-19 
В треугольнике со сторонами а, b, с проведена прямая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности. Доказать, что если эта прямая перпендикулярна биссектрисе угла С, то $\frac{a + b + c}{3} = \frac{2ab}{a + b}$.
Решение:
Пусть D-точка пересечения прямых МО и АС, а точка Е - прямых МО и ВС. Из условия задачи следует, что |CD| = |CE|. Обозначим длину отрезка CD через $x$, а через $h_{a}$ и $h_{b}$ - длины соответствующих высот треугольника АВС, $r$ - радиус вписанной в него окружности. Выразим площадь треугольника $CDE: S_{CDE} = S_{CDM} + S_{CEM} = \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{3} h_{b} \right ) x + \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{3} h_{a} \right )x$. С другой стороны, $S_{CDE} = S_{CDO} + S_{CEO} = \frac{1}{2}rx + \frac{1}{2}rx$.
Приравнивая полученные выражения для площади этого треугольника, получаем: $\frac{1}{3} (h_{a} + h_{b}) = 2r$. Подставляя в это равенство $h_{a} = \frac{2S}{a}, h_{b} = \frac{2S}{b}, r = \frac{S}{p}$, получаем: $\frac{1}{3} \left ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right ) = \frac{2}{a + b + c}$, что эквивалентно условию задачи. Очевидно, верно и обратное утверждение.
В треугольнике со сторонами а, b, с проведена прямая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности. Доказать, что если эта прямая перпендикулярна биссектрисе угла С, то $\frac{a + b + c}{3} = \frac{2ab}{a + b}$.
Решение:
Пусть D-точка пересечения прямых МО и АС, а точка Е - прямых МО и ВС. Из условия задачи следует, что |CD| = |CE|. Обозначим длину отрезка CD через $x$, а через $h_{a}$ и $h_{b}$ - длины соответствующих высот треугольника АВС, $r$ - радиус вписанной в него окружности. Выразим площадь треугольника $CDE: S_{CDE} = S_{CDM} + S_{CEM} = \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{3} h_{b} \right ) x + \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{3} h_{a} \right )x$. С другой стороны, $S_{CDE} = S_{CDO} + S_{CEO} = \frac{1}{2}rx + \frac{1}{2}rx$.
Приравнивая полученные выражения для площади этого треугольника, получаем: $\frac{1}{3} (h_{a} + h_{b}) = 2r$. Подставляя в это равенство $h_{a} = \frac{2S}{a}, h_{b} = \frac{2S}{b}, r = \frac{S}{p}$, получаем: $\frac{1}{3} \left ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right ) = \frac{2}{a + b + c}$, что эквивалентно условию задачи. Очевидно, верно и обратное утверждение.
