Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3108
2019-05-19 
В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников ABC, ABD, ACD и BCD подобен данному.
Решение:
Обозначим через Р, Q, R и S точки пересечения медиан треугольников BCD, и АВС соответственно; через М - середину отрезка CD. Тогда AM - медиана треугольника ACD, BM - медиана треугольника BCD. Отсюда точка Q принадлежит отрезку AM, точка Р - отрезку ВМ. Кроме того, $| AM | : | QM | = | BM | : | PM | = | AB | : | PQ | = 3$. Следовательно, отрезок PQ параллелен отрезку АВ и $| PQ | = \frac{|AB|}{3}$. Рассмотрев аналогично отрезки QR, RS и SP, получаем утверждение задачи.
В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников ABC, ABD, ACD и BCD подобен данному.
Решение:
Обозначим через Р, Q, R и S точки пересечения медиан треугольников BCD, и АВС соответственно; через М - середину отрезка CD. Тогда AM - медиана треугольника ACD, BM - медиана треугольника BCD. Отсюда точка Q принадлежит отрезку AM, точка Р - отрезку ВМ. Кроме того, $| AM | : | QM | = | BM | : | PM | = | AB | : | PQ | = 3$. Следовательно, отрезок PQ параллелен отрезку АВ и $| PQ | = \frac{|AB|}{3}$. Рассмотрев аналогично отрезки QR, RS и SP, получаем утверждение задачи.
