Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3107
2019-05-19 
А, В, С, D - последовательные вершины четырехугольника, вписанного в окружность. Проведены диагонали АС и BD. Доказать, что центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, BCD, CDА и DAB, являются вершинами прямоугольника.
Решение:
Обозначения: $I_{D}, I_{A}, I_{B}, I_{C}$ - центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDА и DAB соответственно.
Имеем: $\angle BI_{A}C = \pi - \frac{1}{2} ( \angle DBC + \angle DCB) = \pi - \frac{1}{2} ( \pi - \angle BDC) = \frac{ \pi}{2} + \frac{1}{2} \angle BDC$.
Аналогично $\angle BI_{D}C = \frac{ \pi}{2} + \frac{1}{2} \angle BAC$. Но $\angle BDC = \angle BAC$. Следовательно, $\angle BI_{A}C = \angle BI_{D}C$.
Поэтому точки $B, I_{A}, C$ и $I_{D}$ лежат на одной окружности.
Отсюда $\angle I_{D}BC + \angle I_{D}I_{A}C = \pi$.
Аналогично $\angle I_{B}DC + \angle I_{B}I_{A}C = \pi$.
Сложим последние два равенства:
$\angle I_{D}BC + \angle I_{D}I_{A}C + \angle I_{B}DC + \angle I_{B}I_{A}C = 2 \pi$.
Ho $\angle I_{D}BC + \angle I_{B}DC = \frac{1}{2} ( \angle ABC + \angle ADC) = \frac{ \pi}{2}$ и $\angle I_{D}I_{A}I_{B} = 2 \pi - ( \angle I_{D}I_{A}C + \angle I_{B}I_{A}C ) = 2 \pi [( \pi - \angle I_{D}BC ) + ( \pi - I_{B} DC ) ] = \frac{ \pi}{2}$, что и требовалось доказать.
А, В, С, D - последовательные вершины четырехугольника, вписанного в окружность. Проведены диагонали АС и BD. Доказать, что центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, BCD, CDА и DAB, являются вершинами прямоугольника.
Решение:
Обозначения: $I_{D}, I_{A}, I_{B}, I_{C}$ - центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDА и DAB соответственно.
Имеем: $\angle BI_{A}C = \pi - \frac{1}{2} ( \angle DBC + \angle DCB) = \pi - \frac{1}{2} ( \pi - \angle BDC) = \frac{ \pi}{2} + \frac{1}{2} \angle BDC$.
Аналогично $\angle BI_{D}C = \frac{ \pi}{2} + \frac{1}{2} \angle BAC$. Но $\angle BDC = \angle BAC$. Следовательно, $\angle BI_{A}C = \angle BI_{D}C$.
Поэтому точки $B, I_{A}, C$ и $I_{D}$ лежат на одной окружности.
Отсюда $\angle I_{D}BC + \angle I_{D}I_{A}C = \pi$.
Аналогично $\angle I_{B}DC + \angle I_{B}I_{A}C = \pi$.
Сложим последние два равенства:
$\angle I_{D}BC + \angle I_{D}I_{A}C + \angle I_{B}DC + \angle I_{B}I_{A}C = 2 \pi$.
Ho $\angle I_{D}BC + \angle I_{B}DC = \frac{1}{2} ( \angle ABC + \angle ADC) = \frac{ \pi}{2}$ и $\angle I_{D}I_{A}I_{B} = 2 \pi - ( \angle I_{D}I_{A}C + \angle I_{B}I_{A}C ) = 2 \pi [( \pi - \angle I_{D}BC ) + ( \pi - I_{B} DC ) ] = \frac{ \pi}{2}$, что и требовалось доказать.
