Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3106
2019-05-19 
Дан прямоугольник ABCD. В него вписаны два разных прямоугольника, имеющих общую вершину на стороне АВ. Доказать, что сумма площадей этих прямоугольников равна площади исходного.
Решение:
Пусть Н - общая вершина вписанных прямоугольников, лежащая на стороне АВ. Рассмотрим диагональ HF одного из этих прямоугольников. Ее центр равноудален от сторон АВ и CD. Значит, точка пересечения диагоналей любого вписанного прямоугольника совпадает с центром О прямоугольника ABCD. Отсюда сразу следует, что F - общая вершина обоих вписанных прямоугольников.
Пусть E(Q) - вершина первого (второго) вписанного прямоугольника, лежащая на стороне AD; G(Р) - вершина первого (второго) вписанного прямоугольника, лежащая на стороне ВС. Имеем: $\angle FEH = \angle FQH = \angle FGH = \angle FPH = \frac{ \pi}{2}$.
Значит, точки Е, Q, G и Р лежат на окружности, диаметром которой является отрезок HF. Отсюда $| AQ | = | ED | = | BG | = | PC |$ и $QG \parallel AB$. Поэтому
$S_{HFG} + S_{HFP} = S_{HFG} + S_{HQF} = S_{HQG} + S_{GQF} = \frac{1}{2} S_{AQGB} + \frac{1}{2} S_{QDCG} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$
Дан прямоугольник ABCD. В него вписаны два разных прямоугольника, имеющих общую вершину на стороне АВ. Доказать, что сумма площадей этих прямоугольников равна площади исходного.
Решение:
Пусть Н - общая вершина вписанных прямоугольников, лежащая на стороне АВ. Рассмотрим диагональ HF одного из этих прямоугольников. Ее центр равноудален от сторон АВ и CD. Значит, точка пересечения диагоналей любого вписанного прямоугольника совпадает с центром О прямоугольника ABCD. Отсюда сразу следует, что F - общая вершина обоих вписанных прямоугольников.
Пусть E(Q) - вершина первого (второго) вписанного прямоугольника, лежащая на стороне AD; G(Р) - вершина первого (второго) вписанного прямоугольника, лежащая на стороне ВС. Имеем: $\angle FEH = \angle FQH = \angle FGH = \angle FPH = \frac{ \pi}{2}$.
Значит, точки Е, Q, G и Р лежат на окружности, диаметром которой является отрезок HF. Отсюда $| AQ | = | ED | = | BG | = | PC |$ и $QG \parallel AB$. Поэтому
$S_{HFG} + S_{HFP} = S_{HFG} + S_{HQF} = S_{HQG} + S_{GQF} = \frac{1}{2} S_{AQGB} + \frac{1}{2} S_{QDCG} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$
