Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3105
2019-05-19 
Дан угол на плоскости. Найти множество центров окружностей, описанных вокруг равнобедренных треугольников, у которых вершины при основании лежат на противоположных сторонах этого угла, а третья вершина - в данной точке А на его биссектрисе.
Решение:
Искомое множество точек состоит из трех частей, соответствующих трем случаям расположения треугольников АВС относительно заданного угла.
а) Оба угла АВО и АСО тупые (О - вершина данного угла). В этом случае точки искомого множества, очевидно, расположены на биссектрисе угла. Ближайшей из них к точке А будет центр окружности, вписанной в заданный угол и проходящей через точку А (рис.).
б) Оба угла АВО и АСО острые. В этом случае точки множества также образуют луч, идущий по биссектрисе угла, но в противоположную сторону, с вершиной в точке $O_{2}$ - центре второй окружности, вписанной в угол и проходящей через точку А.
в) Если же один из углов острый, а другой тупой, то тогда они в сумме составляют развернутый угол. Из этого следует, что четырехугольник АВОС является вписанным. Отсюда получаем, что центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, является центром окружности, описанной вокруг треугольника АВО, и, следовательно, лежит на перпендикуляре к середине отрезка АО. Граничные точки искомого множества на этой прямой определяются предельными положениями треугольника АВС, то есть положениями, при которых точка В или точка С совпадает с точкой О, что соответствует точкам пересечения полученной прямой с перпендикулярами из точки А к сторонам заданного угла.
Дан угол на плоскости. Найти множество центров окружностей, описанных вокруг равнобедренных треугольников, у которых вершины при основании лежат на противоположных сторонах этого угла, а третья вершина - в данной точке А на его биссектрисе.
Решение:
Искомое множество точек состоит из трех частей, соответствующих трем случаям расположения треугольников АВС относительно заданного угла.
а) Оба угла АВО и АСО тупые (О - вершина данного угла). В этом случае точки искомого множества, очевидно, расположены на биссектрисе угла. Ближайшей из них к точке А будет центр окружности, вписанной в заданный угол и проходящей через точку А (рис.).
б) Оба угла АВО и АСО острые. В этом случае точки множества также образуют луч, идущий по биссектрисе угла, но в противоположную сторону, с вершиной в точке $O_{2}$ - центре второй окружности, вписанной в угол и проходящей через точку А.
в) Если же один из углов острый, а другой тупой, то тогда они в сумме составляют развернутый угол. Из этого следует, что четырехугольник АВОС является вписанным. Отсюда получаем, что центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, является центром окружности, описанной вокруг треугольника АВО, и, следовательно, лежит на перпендикуляре к середине отрезка АО. Граничные точки искомого множества на этой прямой определяются предельными положениями треугольника АВС, то есть положениями, при которых точка В или точка С совпадает с точкой О, что соответствует точкам пересечения полученной прямой с перпендикулярами из точки А к сторонам заданного угла.
