Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3104
2019-05-19 
На необитаемом острове путешественники нашла записку с указанием места, где спрятан клад. В записках говорится: «От перевернутой лодки дойдите до пальмы, измеряя расстояние, около нее поверните направо и пройдите еще столько же. Отметьте место остановки. Потом вернитесь обратно к лодке и идите к большому камню, от которого пройдите влево такое же расстояние. Снова отметьте место остановки. Посередине между вашими отметками зарыт клад». Путешественники нашли и пальму, и камень, но лодки уже не было. Смогут ли они найти клад?
Решение:
Покажем, что искомая точка не зависит от точки начала отсчета. Пусть А и В - точки, соответствующие пальме и камню, $M$ - одна точка начала, $M_{1}$ - первая отметка, $M_{2}$ - вторая отметка, $N$ - другая точка начала, $N_{1}$ и $N_{2}$ - соответствующие ей отметки.
Соединим отрезками точки $M$ и $N, M_{1}$ и $N_{1}, M_{2}$ и $N_{2}$ (рис. ). Заметим, что треугольник $AM_{1}N_{1}$ может быть получен из треугольника AMN поворотом на $90^{ \circ}$ против часовой стрелки вокруг точки А, а треугольник $BM_{2}N_{2}$ получается из треугольника BMN поворотом его на $90^{ \circ}$ по часовой стрелке вокруг точки В. Отсюда отрезки $M_{1}N_{1}$ и $M_{2}N_{2}$ конгруэнтны и параллельны, а середины отрезков $M_{1}M_{2}$ и $N_{1}N_{2}$ совпадают, поскольку они являются серединами диагоналей параллелограмма $M_{1}N_{2}M_{2}N_{1}$.
На необитаемом острове путешественники нашла записку с указанием места, где спрятан клад. В записках говорится: «От перевернутой лодки дойдите до пальмы, измеряя расстояние, около нее поверните направо и пройдите еще столько же. Отметьте место остановки. Потом вернитесь обратно к лодке и идите к большому камню, от которого пройдите влево такое же расстояние. Снова отметьте место остановки. Посередине между вашими отметками зарыт клад». Путешественники нашли и пальму, и камень, но лодки уже не было. Смогут ли они найти клад?
Решение:
Покажем, что искомая точка не зависит от точки начала отсчета. Пусть А и В - точки, соответствующие пальме и камню, $M$ - одна точка начала, $M_{1}$ - первая отметка, $M_{2}$ - вторая отметка, $N$ - другая точка начала, $N_{1}$ и $N_{2}$ - соответствующие ей отметки.
Соединим отрезками точки $M$ и $N, M_{1}$ и $N_{1}, M_{2}$ и $N_{2}$ (рис. ). Заметим, что треугольник $AM_{1}N_{1}$ может быть получен из треугольника AMN поворотом на $90^{ \circ}$ против часовой стрелки вокруг точки А, а треугольник $BM_{2}N_{2}$ получается из треугольника BMN поворотом его на $90^{ \circ}$ по часовой стрелке вокруг точки В. Отсюда отрезки $M_{1}N_{1}$ и $M_{2}N_{2}$ конгруэнтны и параллельны, а середины отрезков $M_{1}M_{2}$ и $N_{1}N_{2}$ совпадают, поскольку они являются серединами диагоналей параллелограмма $M_{1}N_{2}M_{2}N_{1}$.
