Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3103
2019-05-19 
А и В - различные фиксированные точки окружности, К - переменная точка той же окружности. На каждой ломаной АКB отметим середину М. Найти множество точек М. (Если, например, $| AK | > | KB |$, то M - такая точка отрезка АК, что $| AM | = | MK | + | KB |$.)
Решение:
Рассмотрим для начала случай, когда $| AK | \geq | KB |$. Продолжим отрезок АК до точки С так, что $| KC | = |KB|$, тогда $\angle KCB = \angle KBC$ и $\angle AKB = \angle KCB + \angle KBC$ как внешний угол треугольника, поэтому $\angle KCB = \frac{1}{2} \angle AKB$. Обозначая D - середину отрезка АВ, имеем $\angle AMD = \angle ACB$, так как М - середина АС.
Следовательно, $\angle AMD = \frac{1}{2} \angle AKB$. Для всех точек К, лежащих по одну сторону от АВ, угол АКB один и тот же как вписанный, опирающийся на постоянную дугу $AEB$. Следовательно, угол AMD тоже постоянен и точка М лежит на дуге окружности, в которой AD стягивает дугу, равную половине дуги АЕВ. Обратными рассуждениями получается, что каждой точке М на дуге указанной окружности, заключенной между точками Р и D (Р - середина дуги АКB первоначальной окружности), соответствует точка К на первоначальной окружности такая, что М - середина ломаной АКB, причем точка К удовлетворяет условиям случая. Случай $| AK | \leq | KB |$ (К лежит на $APB$) рассматривается аналогично и приводит к дуге, симметричной построенной относительно прямой PD. Случай, когда К лежит по другую сторону АВ, рассматривается аналогично.
В результате получаем изображенную на рис. кривую.
А и В - различные фиксированные точки окружности, К - переменная точка той же окружности. На каждой ломаной АКB отметим середину М. Найти множество точек М. (Если, например, $| AK | > | KB |$, то M - такая точка отрезка АК, что $| AM | = | MK | + | KB |$.)
Решение:
Рассмотрим для начала случай, когда $| AK | \geq | KB |$. Продолжим отрезок АК до точки С так, что $| KC | = |KB|$, тогда $\angle KCB = \angle KBC$ и $\angle AKB = \angle KCB + \angle KBC$ как внешний угол треугольника, поэтому $\angle KCB = \frac{1}{2} \angle AKB$. Обозначая D - середину отрезка АВ, имеем $\angle AMD = \angle ACB$, так как М - середина АС.
Следовательно, $\angle AMD = \frac{1}{2} \angle AKB$. Для всех точек К, лежащих по одну сторону от АВ, угол АКB один и тот же как вписанный, опирающийся на постоянную дугу $AEB$. Следовательно, угол AMD тоже постоянен и точка М лежит на дуге окружности, в которой AD стягивает дугу, равную половине дуги АЕВ. Обратными рассуждениями получается, что каждой точке М на дуге указанной окружности, заключенной между точками Р и D (Р - середина дуги АКB первоначальной окружности), соответствует точка К на первоначальной окружности такая, что М - середина ломаной АКB, причем точка К удовлетворяет условиям случая. Случай $| AK | \leq | KB |$ (К лежит на $APB$) рассматривается аналогично и приводит к дуге, симметричной построенной относительно прямой PD. Случай, когда К лежит по другую сторону АВ, рассматривается аналогично.
В результате получаем изображенную на рис. кривую.
