Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3102
2019-05-19 
Около населенных пунктов А и В протекает прямой канал. Как провести водопровод в А и В, чтобы длина труб была минимальна?
Решение:
Нетрудно заметить, что существуют три различных типа прокладки водопровода, которые имеет смысл рассмотреть:
1) Из А и В независимые подводки к каналу.
2) Из А в В (или из В в А) и далее к каналу.
3) Из А и В в некоторую точку М и далее к каналу (см. рис.).
Если в двух первых случаях кратчайшие пути находятся с очевидностью (в первом случае по перпендикулярам к каналу, во втором - соединение А с В, а затем ближайшей из них к каналу -с ним), то в третьем случае отыскание точки М достаточно сложно.
Для определенности будем везде далее считать, что точка А находится дальше от канала, чем В. Пусть точка М - искомая. Повернем треугольник АВМ на $60^{ \circ}$ (рис.) вокруг точки А. Точка В перейдет при этом в точку В и а точка М - в точку $M_{1}$. Рассмотрим ломаную $B_{1}M_{1}MN$, ее длина равна сумме длин отрезков водопровода: $| B_{1}M_{1} | = | BM |, | MM_{1} | = | AM |$, так как треугольник $AMM_{1}$ равносторонний. Длина этой ломаной не меньше расстояния точки $B_{1}$ до берега канала и равна ему лишь тогда, когда отрезок $MM_{1}$ вертикален. В этом случае углы $AMN, AMB$ и $BMN$ равны по $120^{ \circ}$, так как треугольник $AMM_{1}$ равносторонний, а угол АМВ равен углу $AM_{1}B_{1}$. Эти рассуждения справедливы до тех пор, пока угол прямой АВ с направлением канала не превосходит $30^{ \circ}$. Если же он более $30^{ \circ}$, то роль точки М станет выполнять точка В, т. е. третий случай переходит во второй. Это также указывает на то, что при наклоне прямой АВ к направлению канала под углом, меньшим $30^{ \circ}$, третий случай выгоднее второго. Определим теперь линию, разделяющую первый и второй варианты. Довольно ясно, что это будет окружность с центром в точке А и радиусом, Равным расстоянию точки А до канала. Действительно, Внутри этой окружности расстояние от А до В меньше Расстояния точки А до канала, а вне - больше.
Осталось определить линии, разделяющие первый и третий случаи. Рассмотрим одну из точек пересечения уже Рассмотренных линий разделения, обозначим ее через C. Восстановим в этой точке перпендикуляр к АС. Возьмем точку В на этом перпендикуляре выше прямой АС. Опустим из точки В перпендикуляр на направление канала и отметим точку К его пересечения с прямой АС. Выберем на прямой АС точку M, соответствующую третьему случаю соединения точек А и В с каналом. Тогда треугольник МВК, очевидно, равносторонний. Рассмотрим на прямой ВК точку S, такую, что прямая MS параллельна направлению канала. Подсчитаем теперь разницу длин при соединениях первым и третьим способами. В первом случае общая длина равна $|AP| + |QB|$. Во втором $|AM| + |BM| + |MR|$. Но $|AM| = |AP| - |MC|; |MB| = 2| BS|; |MR| = |BQ| - |BS|$. Отсюда $|AM| + |BM| + |MR| = |AP| - |MC| + 2 |BS| + |BQ| - |BS| = |AP| + |QB| + (|BS| - |MC|)$. Ho $|BS| = |MC|$, следовательно, соединения первым и третьим способами дают здесь одинаковую длину. Из сказанного следует, что линия, разделяющая ; первый и третий случаи, - прямая, проходящая через точку С перпендикулярно прямой АС. Окончательное распределение изображено на рис.
Около населенных пунктов А и В протекает прямой канал. Как провести водопровод в А и В, чтобы длина труб была минимальна?
Решение:
Нетрудно заметить, что существуют три различных типа прокладки водопровода, которые имеет смысл рассмотреть:
1) Из А и В независимые подводки к каналу.
2) Из А в В (или из В в А) и далее к каналу.
3) Из А и В в некоторую точку М и далее к каналу (см. рис.).
Если в двух первых случаях кратчайшие пути находятся с очевидностью (в первом случае по перпендикулярам к каналу, во втором - соединение А с В, а затем ближайшей из них к каналу -с ним), то в третьем случае отыскание точки М достаточно сложно.
Для определенности будем везде далее считать, что точка А находится дальше от канала, чем В. Пусть точка М - искомая. Повернем треугольник АВМ на $60^{ \circ}$ (рис.) вокруг точки А. Точка В перейдет при этом в точку В и а точка М - в точку $M_{1}$. Рассмотрим ломаную $B_{1}M_{1}MN$, ее длина равна сумме длин отрезков водопровода: $| B_{1}M_{1} | = | BM |, | MM_{1} | = | AM |$, так как треугольник $AMM_{1}$ равносторонний. Длина этой ломаной не меньше расстояния точки $B_{1}$ до берега канала и равна ему лишь тогда, когда отрезок $MM_{1}$ вертикален. В этом случае углы $AMN, AMB$ и $BMN$ равны по $120^{ \circ}$, так как треугольник $AMM_{1}$ равносторонний, а угол АМВ равен углу $AM_{1}B_{1}$. Эти рассуждения справедливы до тех пор, пока угол прямой АВ с направлением канала не превосходит $30^{ \circ}$. Если же он более $30^{ \circ}$, то роль точки М станет выполнять точка В, т. е. третий случай переходит во второй. Это также указывает на то, что при наклоне прямой АВ к направлению канала под углом, меньшим $30^{ \circ}$, третий случай выгоднее второго. Определим теперь линию, разделяющую первый и второй варианты. Довольно ясно, что это будет окружность с центром в точке А и радиусом, Равным расстоянию точки А до канала. Действительно, Внутри этой окружности расстояние от А до В меньше Расстояния точки А до канала, а вне - больше.
Осталось определить линии, разделяющие первый и третий случаи. Рассмотрим одну из точек пересечения уже Рассмотренных линий разделения, обозначим ее через C. Восстановим в этой точке перпендикуляр к АС. Возьмем точку В на этом перпендикуляре выше прямой АС. Опустим из точки В перпендикуляр на направление канала и отметим точку К его пересечения с прямой АС. Выберем на прямой АС точку M, соответствующую третьему случаю соединения точек А и В с каналом. Тогда треугольник МВК, очевидно, равносторонний. Рассмотрим на прямой ВК точку S, такую, что прямая MS параллельна направлению канала. Подсчитаем теперь разницу длин при соединениях первым и третьим способами. В первом случае общая длина равна $|AP| + |QB|$. Во втором $|AM| + |BM| + |MR|$. Но $|AM| = |AP| - |MC|; |MB| = 2| BS|; |MR| = |BQ| - |BS|$. Отсюда $|AM| + |BM| + |MR| = |AP| - |MC| + 2 |BS| + |BQ| - |BS| = |AP| + |QB| + (|BS| - |MC|)$. Ho $|BS| = |MC|$, следовательно, соединения первым и третьим способами дают здесь одинаковую длину. Из сказанного следует, что линия, разделяющая ; первый и третий случаи, - прямая, проходящая через точку С перпендикулярно прямой АС. Окончательное распределение изображено на рис.
