Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3101
2019-05-19 
На плоскости даны три точки К, L, N. Про четырехугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трех его сторон лежат в данных точках К, L и N. Найдите множества точек, в которые может попасть:
а) середина четвертой стороны;
б) вершина этого четырехугольника.
Решение:
а) Заметим, что если в четырехугольнике соединить последовательно середины сторон, то образуется параллелограмм. Для доказательства этого известного факта достаточно провести одну из диагоналей четырехугольника: в образовавшихся треугольниках два отрезка, соединяющих середины сторон, являются средними линиями, а следовательно, они параллельны проведенной диагонали и равны ее половине.
Из сделанного замечания следует, что середина четвертой стороны - точка М - является четвертой вершиной параллелограмма, тремя другими вершинами которого являются точки К, L и N.
Отсюда множество, в которое может попасть точка М, состоит из трех точек: $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ - вершин треугольника, средними линиями которого являются стороны треугольника KLN (рис.).
б) Рассмотрим один из параллелограммов, например, $KLM_{1}N$. Где могут находиться вершины выпуклого четырехугольника, если середины сторон находятся в точках $K, L, M_{1}$ и $N$? Напомним, что многоугольник - выпуклый, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, являющейся продолжением его стороны. Поэтому вершины четырехугольника могут лежать только в полуполосах между продолжениями противоположных сторон параллелограмма. Пользуясь тем, что две соседние вершины четырехугольника симметричны относительно вершины параллелограмма, находим множество точек, в которых могут оказаться вершины четырехугольника,- оно состоит из четырех параллелограммов, получающихся из $KL_{1}M_{1}N$ параллельным переносом и имеющих с ним общую сторону (рис.); нужно еще убедиться, что любая точка этого «креста» может служить вершиной четырехугольника.
Если рассмотреть теперь еще две точки: $M_{2}$ и $M_{3}$, в которых может оказаться середина четвертой стороны многоугольника, и взять объединение трех «крестов», соответствующих точкам $M_{1}, M_{2}$ и $M_{3}$, то окончательно подучится множество, выделенное штриховкой на рис.; оно состоит из 15 треугольников, конгруэнтных треугольнику LKN.
На плоскости даны три точки К, L, N. Про четырехугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трех его сторон лежат в данных точках К, L и N. Найдите множества точек, в которые может попасть:
а) середина четвертой стороны;
б) вершина этого четырехугольника.
Решение:
а) Заметим, что если в четырехугольнике соединить последовательно середины сторон, то образуется параллелограмм. Для доказательства этого известного факта достаточно провести одну из диагоналей четырехугольника: в образовавшихся треугольниках два отрезка, соединяющих середины сторон, являются средними линиями, а следовательно, они параллельны проведенной диагонали и равны ее половине.
Из сделанного замечания следует, что середина четвертой стороны - точка М - является четвертой вершиной параллелограмма, тремя другими вершинами которого являются точки К, L и N.
Отсюда множество, в которое может попасть точка М, состоит из трех точек: $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ - вершин треугольника, средними линиями которого являются стороны треугольника KLN (рис.).
б) Рассмотрим один из параллелограммов, например, $KLM_{1}N$. Где могут находиться вершины выпуклого четырехугольника, если середины сторон находятся в точках $K, L, M_{1}$ и $N$? Напомним, что многоугольник - выпуклый, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, являющейся продолжением его стороны. Поэтому вершины четырехугольника могут лежать только в полуполосах между продолжениями противоположных сторон параллелограмма. Пользуясь тем, что две соседние вершины четырехугольника симметричны относительно вершины параллелограмма, находим множество точек, в которых могут оказаться вершины четырехугольника,- оно состоит из четырех параллелограммов, получающихся из $KL_{1}M_{1}N$ параллельным переносом и имеющих с ним общую сторону (рис.); нужно еще убедиться, что любая точка этого «креста» может служить вершиной четырехугольника.
Если рассмотреть теперь еще две точки: $M_{2}$ и $M_{3}$, в которых может оказаться середина четвертой стороны многоугольника, и взять объединение трех «крестов», соответствующих точкам $M_{1}, M_{2}$ и $M_{3}$, то окончательно подучится множество, выделенное штриховкой на рис.; оно состоит из 15 треугольников, конгруэнтных треугольнику LKN.
