Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3100
2019-05-19 
Из точки М квадратного биллиарда пускается шарик параллельно одной из диагоналей. Найти множество точек Р на биллиарде таких, что шарик, пущенный из точки Р одновременно с первым шариком со скоростью, равной (по величине и направлению) скорости первого, столкнется с ним.
Решение:
Заметим сначала, что траектория шара, пущенного из произвольной точки М биллиарда параллельно одной из его диагоналей, является прямоугольником $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$ со сторонами, параллельными диагоналям квадрата, и периметром, равным сумме длин этих диагоналей (Рис.).
Заметим, что при столкновении двух шариков, пущенных с равными скоростями, может быть всего два случая: первый - в момент столкновения скорости противоположны по направлению, второй - в момент столкновения скорости перпендикулярны.
В первом случае траектория второго шарика, как легко видеть, должна совпадать с траекторией первого, и соответствующей частью множества будет отрезок $B_{2}B_{3}$.
Посмотрим, что происходит во втором случае.
Здесь очень удобно рассмотреть серию зеркальных отражений биллиарда, изображенную на рис. Квадрат $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ - данный биллиард, квадраты $A_{1}^{ \prime}A_{2}A_{3}A_{4}^{ \prime}$ и $A_{1}^{ \prime \prime}A_{2}^{ \prime}A_{3}A_{4}$ получены из него зеркальным отражением от прямых $A_{2}A_{3}$ и $A_{3}A_{4}$ соответственно. Квадрат $A_{1}^{ \prime \prime \prime} A_{2}^{ \prime} A_{3}A_{4}^{ \prime}$ может быть получен зеркальным отражением как квадрата $A_{1}^{ \prime} A_{2}A_{3}A_{4}^{ \prime}$ относительно прямой $A_{3}A_{4}^{ \prime}$, так и квадрата $A_{1}^{ \prime \prime}A_{2}^{ \prime} A_{3}A_{4}^{ \prime}$ относительно прямой $A_{3}A_{2}^{ \prime}$. Такое замощение плоскости последовательными зеркальными отражениями данного квадрата можно продолжать неограниченно, но нам в основном будет достаточно лишь четырех вышеописанных квадратов.
Теперь можно считать, что первый шарик движется не по прямоугольнику $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$, а по лучу $MB_{1}$. Возьмем точку N на этом луче и посмотрим, из каких точек плоскости может попасть в эту точку второй шарик одновременно с первым, если его траектория перпендикулярна лучу $MB_{1}$, а скорости обоих шариков равны.
Из рисунка легко увидеть, что таких точек только две: К и Q, причем точка К лежит на прямой $K_{1}K_{2}$, проходящей через точку М параллельно сторонам $A_{1}A_{4}$ и $A_{2}A_{3}$, а точка Q лежит на прямой $Q_{1}Q_{2}$, также проходящей через точку М параллельно второй паре сторон квадрата.
Этим точкам соответствуют точки внутри квадрата $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ лежащие на отрезках $K_{1}K_{2}$ и $Q_{1}Q_{2}$.
Из того же рисунка непосредственно видно, что и, наоборот, шарик, выпущенный из любой точки отрезков $K_{1}K_{2}$ и $Q_{1}Q_{2}$ со скоростью, равной (по величине и направлению) скорости первого шарика, столкнется с ним.
Из точки М квадратного биллиарда пускается шарик параллельно одной из диагоналей. Найти множество точек Р на биллиарде таких, что шарик, пущенный из точки Р одновременно с первым шариком со скоростью, равной (по величине и направлению) скорости первого, столкнется с ним.
Решение:
Заметим сначала, что траектория шара, пущенного из произвольной точки М биллиарда параллельно одной из его диагоналей, является прямоугольником $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$ со сторонами, параллельными диагоналям квадрата, и периметром, равным сумме длин этих диагоналей (Рис.).
Заметим, что при столкновении двух шариков, пущенных с равными скоростями, может быть всего два случая: первый - в момент столкновения скорости противоположны по направлению, второй - в момент столкновения скорости перпендикулярны.
В первом случае траектория второго шарика, как легко видеть, должна совпадать с траекторией первого, и соответствующей частью множества будет отрезок $B_{2}B_{3}$.
Посмотрим, что происходит во втором случае.
Здесь очень удобно рассмотреть серию зеркальных отражений биллиарда, изображенную на рис. Квадрат $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ - данный биллиард, квадраты $A_{1}^{ \prime}A_{2}A_{3}A_{4}^{ \prime}$ и $A_{1}^{ \prime \prime}A_{2}^{ \prime}A_{3}A_{4}$ получены из него зеркальным отражением от прямых $A_{2}A_{3}$ и $A_{3}A_{4}$ соответственно. Квадрат $A_{1}^{ \prime \prime \prime} A_{2}^{ \prime} A_{3}A_{4}^{ \prime}$ может быть получен зеркальным отражением как квадрата $A_{1}^{ \prime} A_{2}A_{3}A_{4}^{ \prime}$ относительно прямой $A_{3}A_{4}^{ \prime}$, так и квадрата $A_{1}^{ \prime \prime}A_{2}^{ \prime} A_{3}A_{4}^{ \prime}$ относительно прямой $A_{3}A_{2}^{ \prime}$. Такое замощение плоскости последовательными зеркальными отражениями данного квадрата можно продолжать неограниченно, но нам в основном будет достаточно лишь четырех вышеописанных квадратов.
Теперь можно считать, что первый шарик движется не по прямоугольнику $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}$, а по лучу $MB_{1}$. Возьмем точку N на этом луче и посмотрим, из каких точек плоскости может попасть в эту точку второй шарик одновременно с первым, если его траектория перпендикулярна лучу $MB_{1}$, а скорости обоих шариков равны.
Из рисунка легко увидеть, что таких точек только две: К и Q, причем точка К лежит на прямой $K_{1}K_{2}$, проходящей через точку М параллельно сторонам $A_{1}A_{4}$ и $A_{2}A_{3}$, а точка Q лежит на прямой $Q_{1}Q_{2}$, также проходящей через точку М параллельно второй паре сторон квадрата.
Этим точкам соответствуют точки внутри квадрата $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ лежащие на отрезках $K_{1}K_{2}$ и $Q_{1}Q_{2}$.
Из того же рисунка непосредственно видно, что и, наоборот, шарик, выпущенный из любой точки отрезков $K_{1}K_{2}$ и $Q_{1}Q_{2}$ со скоростью, равной (по величине и направлению) скорости первого шарика, столкнется с ним.
