Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3098
2019-05-19 
Дан равносторонний треугольник АВС. Найти множество точек М, таких, что треугольники АВМ и АСМ равнобедренные.
Решение:
Для треугольника АВМ возможны три варианта его равнобедренности:
1) $|AB| = |AM|$, 2) $|AB| = |BM|$ и 3) $|AM| = |BM|$.
Рассмотрим три множества точек, соответствующих этим вариантам. Точки М в первом случае располагаются по окружности радиуса |АВ| с центром в точке А, во втором случае - по окружности того же радиуса, но с центром в точке В, в третьем случае - по прямой, проведенной через середину стороны А В перпендикулярно ей. Аналогично получаем для треугольника ACM, что он будет равнобедренным, если точка М лежит либо на одной из окружностей радиуса |АС| (заметим, что |АС| = |АВ| ) с центром в точке А или С, либо на перпендикуляре к середине стороны АС.
Рассмотрим совокупность всех точек, принадлежащих одновременно обоим множествам. Это будет окружность О радиуса |АВ| с центром в точке А и еще шесть точек: $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}$, и $M_{6}$ (рис.). Заметим, что если точка М совпадет с точкой В или с точкой С, то один из треугольников АВМ или ACM будет вырожденным. Вырождение одного из указанных треугольников будет также еще в двух случаях: 1) если точка М совпадает с точкой $C_{1}$, лежащей на пересечении окружности О с продолжением стороны AB, и 2) если М совпадает с точкой $B_{1}$, лежащей на пересечении окружности О с продолжением стороны АС.
Окончательно получаем в качестве искомого множества точек окружность О с выколотыми точками $B, C, B_{1}$ и $C_{1}$ и еще четыре точки: $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ и $M_{4}$.
Дан равносторонний треугольник АВС. Найти множество точек М, таких, что треугольники АВМ и АСМ равнобедренные.
Решение:
Для треугольника АВМ возможны три варианта его равнобедренности:
1) $|AB| = |AM|$, 2) $|AB| = |BM|$ и 3) $|AM| = |BM|$.
Рассмотрим три множества точек, соответствующих этим вариантам. Точки М в первом случае располагаются по окружности радиуса |АВ| с центром в точке А, во втором случае - по окружности того же радиуса, но с центром в точке В, в третьем случае - по прямой, проведенной через середину стороны А В перпендикулярно ей. Аналогично получаем для треугольника ACM, что он будет равнобедренным, если точка М лежит либо на одной из окружностей радиуса |АС| (заметим, что |АС| = |АВ| ) с центром в точке А или С, либо на перпендикуляре к середине стороны АС.
Рассмотрим совокупность всех точек, принадлежащих одновременно обоим множествам. Это будет окружность О радиуса |АВ| с центром в точке А и еще шесть точек: $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}$, и $M_{6}$ (рис.). Заметим, что если точка М совпадет с точкой В или с точкой С, то один из треугольников АВМ или ACM будет вырожденным. Вырождение одного из указанных треугольников будет также еще в двух случаях: 1) если точка М совпадает с точкой $C_{1}$, лежащей на пересечении окружности О с продолжением стороны AB, и 2) если М совпадает с точкой $B_{1}$, лежащей на пересечении окружности О с продолжением стороны АС.
Окончательно получаем в качестве искомого множества точек окружность О с выколотыми точками $B, C, B_{1}$ и $C_{1}$ и еще четыре точки: $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ и $M_{4}$.
