Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3097
2019-05-19 
На плоскости даны четыре точки: А, В, С и D. Найти множество точек М, таких, что
$| AM |^{2} + |BM|^{2} = | CM |^{2} + | DM |^{2}$.
Решение:
Обозначим расстояние между точками А и В через я, а между точками С и D через b. Соединим точку M отрезками с точками Е и F - серединами отрезков АВ и CD (рис.). Тогда, по теореме о длине медианы треугольника, можно записать:
$| EM |^{2} = \frac{1}{4} (2 |AM|^{2} + 2|BM|^{2} - |AB|^{2})$,
$| FM |^{2} = \frac{1}{4} (2 |CM|^{2} + 2|DM|^{2} - |CD|^{2})$,
Отсюда $|EM|^{2} - |FM|^{2} = \frac{1}{4} (b^{2} - a^{2})$. Разберем три случая.
1. Точки Е и F различны. Тогда искомое множество есть перпендикуляр к отрезку EF.
2. Точки Е и F совпадают, а $a \neq b$. Из полученного соотношения следует, что искомое множество пусто.
3. Точки Е и F совпадают, а $a = b$. Тогда любая точка плоскости принадлежит искомому множеству.
На плоскости даны четыре точки: А, В, С и D. Найти множество точек М, таких, что
$| AM |^{2} + |BM|^{2} = | CM |^{2} + | DM |^{2}$.
Решение:
Обозначим расстояние между точками А и В через я, а между точками С и D через b. Соединим точку M отрезками с точками Е и F - серединами отрезков АВ и CD (рис.). Тогда, по теореме о длине медианы треугольника, можно записать:
$| EM |^{2} = \frac{1}{4} (2 |AM|^{2} + 2|BM|^{2} - |AB|^{2})$,
$| FM |^{2} = \frac{1}{4} (2 |CM|^{2} + 2|DM|^{2} - |CD|^{2})$,
Отсюда $|EM|^{2} - |FM|^{2} = \frac{1}{4} (b^{2} - a^{2})$. Разберем три случая.
1. Точки Е и F различны. Тогда искомое множество есть перпендикуляр к отрезку EF.
2. Точки Е и F совпадают, а $a \neq b$. Из полученного соотношения следует, что искомое множество пусто.
3. Точки Е и F совпадают, а $a = b$. Тогда любая точка плоскости принадлежит искомому множеству.
