Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3096
2019-05-19 
Из всех треугольников периметра 1 найти тот, У которого сумма $aA + bB + cC$ наименьшая, $a, b, c$ - стороны, $A, B, C$ - соответствующие углы треугольника в радианах.
Решение:
Решение задачи вытекает из следующего неравенства:
$aA + bB + cC \geq \frac{1}{3} (a+b+c)(A+B+C)$,
если $a \geq b \geq c$, а $A \geq B \geq C$.
Докажем его: $3 (aA + bB + cC) - (a + b + c)(A + B + C) = (A - B)(a - b) + (A-C)(a-c) + (B - C)(b - c) \geq 0$. Неравенство доказано. Отсюда: поскольку $a + b + c = 1, A + B + C = \pi$, то $aA + bB + cC \geq \frac{ \pi}{3}$. Равенство достигается лишь для равностороннего треугольника,
Из всех треугольников периметра 1 найти тот, У которого сумма $aA + bB + cC$ наименьшая, $a, b, c$ - стороны, $A, B, C$ - соответствующие углы треугольника в радианах.
Решение:
Решение задачи вытекает из следующего неравенства:
$aA + bB + cC \geq \frac{1}{3} (a+b+c)(A+B+C)$,
если $a \geq b \geq c$, а $A \geq B \geq C$.
Докажем его: $3 (aA + bB + cC) - (a + b + c)(A + B + C) = (A - B)(a - b) + (A-C)(a-c) + (B - C)(b - c) \geq 0$. Неравенство доказано. Отсюда: поскольку $a + b + c = 1, A + B + C = \pi$, то $aA + bB + cC \geq \frac{ \pi}{3}$. Равенство достигается лишь для равностороннего треугольника,
