Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3093
2019-05-19 
Доказать неравенство
$(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})( \sqrt[k]{2} - 1) < \sqrt[k]{2a_{1}^{k} + 2^{2}a_{2}^{k} + \cdots + 2^{n}a_{n}^{k}}$,
если $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ - положительные числа, $k$ - фиксированное натуральное число.
Решение:
Выберем из чисел $2a_{1}^{k}, 2^{2}a_{2}^{k}, \cdots , 2^{n}a_{n}^{k}$ наибольшее. Пусть это будет $2^{s}a_{s}^{k}$, тогда $2^{s}a_{s}^{k} \geq 2^{m}a_{m}^{k}$, где $m = 1, 2, \cdots, n$
Отсюда $a_{m} \leq (2^{s - m} a_{s}^{k} )^{ \frac{1}{k}} = 2^{ \frac{s - m}{k} } a_{s}$ в сумма $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$ не превосходит $ 2^{ \frac{s - 1}{k}} + 2^{ \frac{s - 2}{k}} + \cdots + 2^{ \frac{s - n}{k}} a_{s} = a_{s} \cdot 2^{ \frac{s}{k} } \left ( 2^{ - \frac{1}{k} } + 2^{ - \frac{2}{n} } + \cdots + 2^{ - \frac{n}{k} } \right )$.
В скобках стоит сумма нескольких членов убывающей ге-ометрической прогрессии со знаменателем $2^{ - \frac{1}{k} }$, причем $0 < 2^{ - \frac{1}{k} } < 1$. Следовательно, сумма этой прогрессии меньше, чем $\frac{2^{ - \frac{1}{k} } }{1 - 2^{ - \frac{1}{k} } } = \frac{1}{ \sqrt[k]{2} - 1 }$.
Итак, слева стоит число, меньшее, чем $\frac{a_{s} \sqrt[k]{2^{s} } (\sqrt[k]{2} - 1 ) }{( \sqrt[k]{2} - 1 ) } = a_{s} \cdot 2^{ \frac{s}{k} }$, а справа число, не меньшее, чем $\sqrt[k]{2^{s}a_{s}^{k} } = a_{s} \cdot 2^{ \frac{s}{k} }$.
Неравенство доказано.
Доказать неравенство
$(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})( \sqrt[k]{2} - 1) < \sqrt[k]{2a_{1}^{k} + 2^{2}a_{2}^{k} + \cdots + 2^{n}a_{n}^{k}}$,
если $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ - положительные числа, $k$ - фиксированное натуральное число.
Решение:
Выберем из чисел $2a_{1}^{k}, 2^{2}a_{2}^{k}, \cdots , 2^{n}a_{n}^{k}$ наибольшее. Пусть это будет $2^{s}a_{s}^{k}$, тогда $2^{s}a_{s}^{k} \geq 2^{m}a_{m}^{k}$, где $m = 1, 2, \cdots, n$
Отсюда $a_{m} \leq (2^{s - m} a_{s}^{k} )^{ \frac{1}{k}} = 2^{ \frac{s - m}{k} } a_{s}$ в сумма $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$ не превосходит $ 2^{ \frac{s - 1}{k}} + 2^{ \frac{s - 2}{k}} + \cdots + 2^{ \frac{s - n}{k}} a_{s} = a_{s} \cdot 2^{ \frac{s}{k} } \left ( 2^{ - \frac{1}{k} } + 2^{ - \frac{2}{n} } + \cdots + 2^{ - \frac{n}{k} } \right )$.
В скобках стоит сумма нескольких членов убывающей ге-ометрической прогрессии со знаменателем $2^{ - \frac{1}{k} }$, причем $0 < 2^{ - \frac{1}{k} } < 1$. Следовательно, сумма этой прогрессии меньше, чем $\frac{2^{ - \frac{1}{k} } }{1 - 2^{ - \frac{1}{k} } } = \frac{1}{ \sqrt[k]{2} - 1 }$.
Итак, слева стоит число, меньшее, чем $\frac{a_{s} \sqrt[k]{2^{s} } (\sqrt[k]{2} - 1 ) }{( \sqrt[k]{2} - 1 ) } = a_{s} \cdot 2^{ \frac{s}{k} }$, а справа число, не меньшее, чем $\sqrt[k]{2^{s}a_{s}^{k} } = a_{s} \cdot 2^{ \frac{s}{k} }$.
Неравенство доказано.
